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UTILIZACIÓN Y APLICACIÓN DE PROPIEDADES GEOMÉTRICAS EN ENTORNOS DE PROBLEMAS.
Videoconferencia el día 3 de junio a las 9:45 horas de la mañana en Saltillo, 16:45 horas de la tarde en España en el II CONGRESO IBEROCABRI DE MÉJICO

Se podrá seguir en esta URL:

  ::: Resuelto. La solución en la próxima actualización.
(#196) El botellero
Propuesto por Ignacio Larrosa
En un botellero de sección rectangular, véase la figura, con una anchura de 7.4 unidades, se colocan 13 botellas de radio 1. En la primera fila sólo caben 3 botellas. Dos de ellas, la A y la C, se pegan a las paredes del botellero, quedando la B en cualquier posición intermedia.
Al seguir colocando botellas, pueden ponerse dos, la D y E, en la segunda fila. Luego tres en la tercera, la F, G y H, con F y H apoyadas en las paredes.
Siguiendo así, colocamos la I y la J en la cuarta fila, y la K, L y M en la quinta y última, con K y M apoyadas en las paredes.
La posición de B determina las posiciones de las restantes, si A y C se mantienen pegadas a las paredes. Pues bien, se trata de mostrar que la quinta fila de botellas es exactamente horizontal, cualquiera que sea la posición de B, y a diferencia de lo que ocurre con las filas 2ª, 3ª y 4ª.

El Junquillo Chino
El siguiente problema fue hallado en el capítulo IX del libro chino: "Chu Chang Suan Shu" o "Arte Matemático en Nueve Secciones"
Crece en medio de una laguna circular de 3m (300cm) de diámetro un junquillo que sobresale 30 cm del agua cuando se inclina hasta que lo cubre de agua alcanza justamente la orilla de la laguna, ¿qué profundidad tiene el agua?

Este antiguo libro chino data probablemente del siglo II a.C (Dinastía Han) y contiene 246 problemas divididos en 9 capítulos, el autor es desconocido , y contiene el resumen de todo el conocimiento matemático poseído en China hasta la primera mitad del siglo III d.C. algunos de estos problemas datan de la Dinastía Qin (221 - 220 a.C.) y fueron compilados por Zhang Cang (256? - 152 a.C.)

El libro tuvo numerosos comentaristas tales como el matemático chino Lui Hiu quien escribió en el año 263 a.C un comentario donde proveyó la justificación matemática para las reglas y soluciones de los problemas escritos allí, además de otros como Zu Kengzhi (siglo VI d.C.), de li Chunfeng (602-670) y de Yang Hui (1270).

Fang Fian
Capítulo I. Medición de terrenos
Reglas para calcular áreas de terrenos de diversas formas (trtángulos, rectágulos, círculos y trapezoides); el valor de p toma el valor de 3. Reglas de operaciones aritméticas y fracciones
Su mi
Capítulo II. Mijo y arroz
Preguntas sencillas sobre porcentajes y proporciones
Tshui Fen
Capítulo III. Distribución por progresiones
Problemas sobre distribución, algunos de los cuales son resuletos por reglas de tres simple y otros por progresiones aritméticas y geométricas
Shao guang
Capítulo IV. Largura pequeña
Cálculo de los lados de las figuras conociendo sus áreas y un sólo lado. Adición de fracciones unitarias y extracción de raíces cuadradas y cúbicas.
Shang gong
Capítulo V. Consultas sobre trabajos de ingeniería
Volúmenes de figuras sólidas (prismas, cilindors y pirámides) referido a construcciones y a monte de cereales.
Jun shu
Capítulo VI. Impuestos justos
Cálculo de cómo distribuir el cereal y el trabajo, impuestos a distribuir a diferentes sectores de la población y dificultades sobre los impuestos en el transporte
Ying Pu Tsu
Capítulo VII. Exceso y déficit
Regla y uso de las falsa suposición en la solución de diferentes problemas.
Fang cheng
Capítulo VIII. Cálculo y tabulación
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Indica la regla para el cálculo con números positivos y negativos
Kou Ku
Capítulo IX. Triángulos rectángulos
Pitágoras. Propiedades de los triángulos rectángulos. Problemas de semejanza de triángulos. Resolución de ecuaciones de segundo grado.

Veamos la solución del problema propuesto: graficando las condiciones del problema antes de que el junquillo se inclinara:

Como 300 cm es el diámetro de la laguna entonces la distancia del junquillo a la orilla es de 150 cm. Además que la profundidad del agua estará dado por x que es también la longitud de la parte sumergida del junquillo, téngase en cuenta que la longitud total del junquillo es x + 30.
Grafiquemos nuevamente ahora teniendo en cuenta la inclinación del junquillo precisamente cuando su extremo superior alcanza la orilla.
Por el teorema de Pitágoras:
(x + 30) 2 = 150 2 + x 2
luego x = 360 cm = 3,6 m

Este problema muy posiblemente haya pasado de La China a la India y en efecto es así pues Bhaskara II (llamado también Bhaskaracharya ) en su Lilavati expone este problema de manera ligeramente diferente por ejemplo en vez de considerar un junquillo como el protagonista del problema Bhaskara optó por elejir una planta familiar de su territorio como el loto, veamos:

En cierto lago, el repleto de gansos rosados y grullas, se podían ver, la parte superior de una flor de una planta de loto un palmo arriba de la superficie del agua. Forzado por el viento, avanzó gradualmente y fue sumergido por el agua a una distancia de 4 palmos. (ver figura)
Calcula, deprisa matemático ¡¡¡¡¡ la profundidad del agua.

El Lilavati (que significa "El Hermoso") es el manuscrito más conocido escrito por Bhaskara II en el año 1150 d.C a los 36 años de edad y contiene 278 versos sobre diversos aspectos de las matemáticas hindúes como por ejemplo: resolución de ecuaciones cuadráticas, progresiones, el teorema de Pitágoras, regla de tres, medición de volúmenes, etc.

Bhaskara II también escribió el Bijaganita (semilla que cuenta o extrae la raíz) en la que expone temas del álgebra; el Siddhantasiromani que está dividido en dos partes: la primera parte trata sobre astronomía matemática y la segunda sobre la esfera; el Vasanabhasya de Mitaksara que es un comentario propio del Siddhantasiromani; el Karanakutuhala (cálculo de maravillas astronómicas) o Brahmatulya que son una versión simplificada del Siddhantasiromani; y el Vivarana de el cual es un comentario en el Shishyadhividdhidatantra de Lalla.



   
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