G.M. Historias
  El área de un triángulo.  

Los tres triángulos MNA, MNA´ y MNA´´ tienen la misma área
Desde siempre sabemos que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de un lado cualquiera por la altura relativa a dicho lado.
Vamos a justificar, en lo que es posible en una página web, otras expresiones para obtener el área de un triángulo; para lo cual sólo tendremos que tener algunos conocimientos básicos de geometría y trigonometría.
Dados dos lados y el ángulo comprendido
Lados: c y b
Ángulo: A
Si consideramos el triángulo rectángulo AMC resulta h c = b . sen (A) y sustituyendo en la expresión (1) resulta:
Teorema del seno
En todo triángulo se verifica la relación
Teorema del seno
Dicha relación puede probarse que es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita
(es decir, igual a 2R).
Dados un lado y dos ángulos
Lado: c
Ángulos: A, B
Conocidos los ángulos A y B es inmediato calcular C
C = 180 - (A + B)

Como ya sabemos
h c = b . sen (A)
Además, según el teorema del seno
Sustituyendo estos valores en (1) tendremos:

Conocidos los tres lados y el radio de la cincunferencia circunscrita (¡Que ya es conocer!)
A partir del teorema del seno resulta: y sustituyendo en la expresión (2)
Las bisectrices del triángulo, (en azul) se cortan en el incentro que es el centro de la circunferencia inscrita.
 Conocidos los tres lados y el radio de la cincunferencia inscrita
Las bisectrices dividen al triángulo en tres triágulos AIB, BIC, CIA de altura r.
El área de cada uno de ellos es
(a.r)/2,   (b.r)/2    y (c.r)/2
por lo que el área del triángulo es
siendo p la mitad del perímetro del triángulo.

Conocidos los tres lados. Fórmula de Herón
En el triángulo AMC
h 2c = b 2 - AM 2
Teniendo en cuenta el teorema del cuadrado opuesto a un ángulo agudo resulta:
por lo que
Es decir
Siendo p la mitad del perímetro del triángulo.

Puede probarse también que si p es el semiperímetro de un triángulo y A, B y C son los ángulos del mismo el área es


Puedes ver una desmostración de esta expresión en el problema (#057) El área de un triángulo
Cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo
a 2 = b 2 + c 2 - 2.c.AM
El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él

Si a + b + c = 2p, siendo p la mitad del perímetro, resulta:

b + c - a = 2p - 2c = 2(p - a)
a + c - b = 2p - 2b = 2(p - b)
a + b - c = 2p - 2c = 2(p - c)

La fórmula de Herón también es válida si el triángulo es obtuso.
Basta entonces aplicar el teorema del cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso

a 2 = b 2 + c 2 + 2.c.AM
El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mas el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él

Ejemplo.
Sean A(3,2), B(1,4), C(2,5) los vértices del triángulo ABC.
El vector AB = (1-3, 4-2) = (-2,2) y el vector AC = (2-3, 5-2) = (-1,3)
Un vector perpendicular a AB y con el mismo módulo es AB´= (-2,-2) (pues el producto escalar de ambos es 0.
El producto escalar de AB´ y AC (referidos los vectores a una base ortonormal) es
AB´. AC = (-2,-2).(-1,3) = 2 - 6 = - 4
por lo que el área del triángulo resulta:
A = 1/2 |(-2,-2).(-1,3)| = 1/2 | - 4 | = 2 unidades 2
Expresión vectorial del área de un triángulo (En lo que sigue indicaremos las magnitudes vectoriales en negrita).
Consideremos el vector AB´ perpendicular al vector AB y con el mismo módulo [AB] = [AB´]
Como
h = [AC] sen (x) =
= [AC] cos (90 - x) = [AC] cos (y)
el área del triángulo es:
A = 1/2 [AB ] h =
= 1/2 [AB] [AC] cos (y) =
= 1/2 [AB´] [AC] cos (y) =
= 1/2 AB´. AC
siendo AB´. AC el producto escalar de los vectores AB´ y AC
En general al área de un triágulo es
A = 1/2 | AB´. AC |
es decir, el valor absoluto de dicho producto escalar.


  El área de un triángulo.