G.M. Historias
  Triángulos rectángulos.   cuyos catetos, enteros, se diferencian en la unidad y tienen la hipotenusa entera.
Francisco Javier Asencor
El teorema de Pitágoras para la terna (3,4,5)
Resulta un tópico, ilustrar el teorema de Pitágoras mediante el triángulo de tres y cuatro unidades en los catetos y cinco en la hipotenusa. Sin duda es la terna de números más simples que cumplen la relación de Pitágoras, salvo la trivial (0,1;1) que, en definitiva, no permite ver un triángulo.
¿Existen otras ternas que cumplan esta relación? Desde luego que sí, pero ¿cuántas? y ¿qué relaciones mantienen entre ellas?
No es un gran problema pero se presta al entretenimiento si se está abierto a dejarse sorprender por algunos aspectos que aparecen. Todo puede hacerse con un nivel de algebra simple (el cuadrado del binomio es lo más complicado. Si puede uno pasar el rato haciendo un crucigrama, también con esto ...)
En principio puede armarse de una calculadora y ensayar (o con un sencillisimo programa hacer que ensaye el ordenador). Se puede encontrar que las ternas (0,1;1) (3,4;5) (5,12;13) (8,15;17) (20,21;29) (12,35;37) (9,40;41) (28,45;53) ... y muchas más, cumplen la condición. Por supuesto las obtenidas como producto de estos valores por cualquier factor entero también cumplen, pero carecen de interés. Consideramos sólo aquellas cuyo máximo común divisor sea la unidad.
Desde luego resulta más interesante buscar una forma general que nos proporcione todas las ternas. (En rigor no se demuestra que todas las ternas válidas queden recogidas con este método ...)

Consideremos dos enteros nones cualesquiera, primos entre sí
Las expresiones
proporcionan números enteros, que cumplen la relación que nos interesa y cuyo m.c.d. es uno, como es fácil de demostrar.
Los valores n 1 = 1 y n 2 = 3 proporcionan la terna (3,4;5).
Demostración
Si n 1 y n 2 son primos entre sí, C 1 y C 2 son primos entre sí y en consecuencia lo son con H. Ya que si C 1 y C 2 admiten como factor común el primo p, este ha de ser factor de n 1 o n 2; admitamos que lo es de n 1, de esta forma
C 1 = p × m 1 × n 2
y
que sólo es entero si n 2 es múltiplo de p es decir, n 2 no es primo con n 1

Tenemos un conjunto doblemente infinito de ternas fácilmente clasificable por su origen por ejemplo con n 1 = 1 cada uno de los impares mayores distintos de uno nos proporciona un conjunto en el que la hipotenusa es mayor que el cateto mayor en una unidad (|H - C 2| = 1)...
Pueden buscarse multitud de subconjuntos, con sólo imponer alguna condición sobre los números generadores (n 1, n 2) o entre los valores de las ternas.

Analizamos el caso en que la diferencia entre ambos catetos sea la unidad: |C 1 - C 2| = 1

Los casos de signo negativo de la raíz carecen de interés pues sólo resulta compatible el valor n 1 = 1 con la opción negativa en el interior de la raíz, y supone la anulación de esta. Así requerimos encontrar los valores n 1, que aplicados a esta expresión
nos proporciones un n 2 entero, primo con n 1
Hagamos algunas transformaciones. Sea n 1, un valor que cumple la condición
El valor obtenido para n 2, cumple las mismas condiciones y proporciona otro número entero. Esto constituye una ley de recurrencia. Así en la sucesión
cuyos primeros términos son: 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, 8119,... tomando dos de ellos consecutivos cualesquiera, generaremos una terna que nos indique el valor de los catetos enteros diferenciados en una unidad que determinan hipotenusa entera.

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Es posible establecer una forma general no recursiva para los términos de esta sucesión, pero requiere un cálculo algo superior y no es relevante para lo que presentamos.
Valores de las n
Llamando

La obtención de estos enteros a partir de irracionales, no presenta ninguna particularidad. En el desarrollo binomial (aquí aparece el triangulo de Tartaglia) de las potencias de a se alternan términos racionales (potencias pares de la raiz), con irracionales. Estos se anulan dos a dos en la suma de los dos desarrollos.
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Los catetos obtenibles y las hipotenusas constituyen de por sm otras sucesiones de enteros. Fijémonos, por ejemplo en las hipotenusas
Ambas relaciones "cuelgan" la sucesión de hipotenusas de la sucesión de números generadores, y resulta "desagradable" la presencia de elementos no lineales. Con un poco de algebra muy sencilla podemos tratar de obtener una ley de recurrencia "autoconsistente" para las hipotenusas.
Si tenemos en cuenta la primera relación entre las n
que podemos elevar al cuadrado y anular el segundo miembro
y sumarlas
agregando este cero a la expresión de la hipotenusa
que puede reescribirse como
que es lo que nos proponíamos una ley de recurrencia para las hipotenusas:
con los términos H 0 = 1 y H 1 = 5, queda determinada la sucesión cuyos primeros elementos son: 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461,...

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Tambien es posible establecer una forma general no recursiva para los términos de esta sucesión, pero requiere un cálculo algo superior y no es relevante para lo que presentamos
Valores de las H
Manteniendo el valor de a

que está relacionado con el anterior.... Los exponentes son nones.
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Para terminar una observación para consideraciones posteriores, que ahora no haremos. Si con la ley de recurrencia obtenida cambiamos el segundo término,

obtenemos otra sucesión simpática, (1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391,...).

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Que también tiene su forma general
Valores de las G

en que los exponentes son pares.
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Los cuadrados de sus elementos son a la vez números triangulares.
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Números triangulares
Si denominamos nzmeros cuadrados [z 2] al número de objetos que permiten ser colocados en z filas de z objetos cada una, formando un cuadro, podemos llamar triangulares [z(z+1)/2] al número de objetos que permiten ser colocados en z filas de modo que la primera tenga z objetos y las demás, sucesivamente, uno menos que la anterior cada una, formando un triángulo. Estos números aparecen en el triángulo de Tartaglia en la segunda línea paralela a cualquiera de las filas de 1... 


1	1	1	1	1	1	..
1	2	3	4	5	...
1	3	6	10	...
1	4	10	...
1	5	...
1	...
...
El primero (el 1) es un cuadrado, hay otros en la lmnea y vienen recogidos en la sucesisn que hemos llamado G
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Como no creemos en las casualidades cuando se trata de relaciones numéricas, dejamos la relación abierta... pero cuidado las sucesiones enganchan.



  Ternas Pitagóricas