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OPERACIONES CON SUCESOS
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Se definen las siguientes operaciones con sucesos de un determinado experimento aleatorio
  • Unión de dos sucesos A, B es el suceso que se verifica si se verifica A o se verifica B o ambos.
    La unión de los sucesos A y B la designaremos por (A o B) (cuando no haya lugar a confusión lo expresaremos sin paréntesis es decir A o B)
  • Intersección de dos sucesos A, B es el suceso que se verifica si se verifica A y se verifica B.
    La intersección de los sucesos A y B la designaremos por (A y B) (cuando no haya lugar a confusión lo expresaremos sin paréntesis es decir A y B)
  • Diferencia de dos sucesos A, B es el suceso que se realiza cuando se reazliza A y no B.
    La diferencia de los sucesos A y B la designaremos por
    A - B = (A y Bc )
    Igualmente podemos considerar la diferencia B - A

Lanzamos un dado y consideramos los sucesos

A = {´´obtener número par´´} = {2, 4, 6}
B = {´´obtener múltiplo de 3´´} = {3, 6}

Puedes comprobar las operaciones unión, intersección y diferencias de dichos sucesos pasando el ratón sobre los correspondientes diagramas


 Unión 
{´´números pares o múltiplos de 3´´} = {2, 3, 4, 6}

 Intersección 
{´´números pares y múltiplos de 3´´} = {6}
 Diferencia B - A 
{´´múltiplos de 3 y no números pares´´} = {3}
 Diferencia A - B 
{´´números pares y no múltiplos de 3´´} = {2, 4}


Diferencias simétricas
Puedes comprobar las diferencias simétricas pasando el ratón sobre el diagrama
  • Se lanza una moneda tres veces y se consideran los sucesos
    A = {´´salen al menos dos cruces´´} = {c++, +c+, ++c, +++}
    B = {´´sale alguna cara´´} = {ccc, cc+, c+c, c++, +cc, +c+, ++c}

    Unión
    (A o B) = {´´salen al menos dos cruces o sale alguna cara´´} = {+++, c++, +c+, ++c, ccc, cc+, c+c, +cc}

    Intersección
    (A y B) = {´´salen al menos dos cruces y sale alguna cara´´} = {c++, +c+, ++c}

    Diferencias
    A - B = (A y Bc ) = {´´salen al menos dos cruces y no sale alguna cara´´}
    B - A = (B y Ac ) = {´´sale alguna cara y no salen al menos dos cruces´´}


  • Algunas consideraciones básicas con sucesos que serán útiles para la resolución de problemas

  • Sucesos incompatibles y complementarios
    Si A es un suceso de un determinado experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E, entonces A y su complementario son incompatibles, es decir
    (A y Ac ) = Ø
    Además (A o Ac ) = E
    Si lanzamos un dado y A es el suceso A = {´´obtener múltiplo de 3´´} = {3, 6} entonces Ac = {´´no obtener múltiplo de 3´´} = {1, 2, 4, 5} por lo que
    (A o Ac ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E      y      (A y Ac ) = Ø
  • Dos sucesos complementarios son incompatibles, pero el recíproco no es cierto, es decir dos sucesos incompatibles no tienen por qué ser complementarios.
    Por ejemplo, los sucesos A = {´´obtener múltiplo de 3´´} = {3, 6} y B = {´´obtener múltiplo de 5´´} = {5} son incompatibles pero no complementatios.
  • Dados dos sucesos A y B de un determinado experimento aleatorio que no sean incompatibles los sucesos (A - B), (B - A) y (A y B) son incompatibles
    Además podemos expresar tanto A como B como unión de dos sucesos incompatibles
    A = (A - B) o (A y B)
    B = (B - A) o (A y B)

    También podemos expresar el suceso (A o B) como unión de tres sucesos incompatibles

    (A o B) = (A - B) o (A y B) o (B - A)
  • Suceso contenido en otro
    El suceso B está contenido en el suceso A Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas y los sucesos

    A = {´´salen al menos dos cruces´´} = {c++, +c+, ++c, +++}
    B = {´´salen dos cruces´´} = {c++, +c+, ++c}

    El suceso B es un subconjunto del suceso A. Si se verifica A necesariamente se verifica B. En este sentido, diremos que el suceso B está contenido en el suceso A.
    Es interesante observar en el caso anterior que se verifican las inclusiones siguientes:

    (A y B) está contenido en A
    (A y B) está contenido en B
  • Leyes de De Morgan
    Dos propiedades importantes que, a veces, resultan útiles en la resolución de problemas son las siguientes:
    • El complementario de la unión de dos sucesos es la intersección de los complementarios de dichos sucesos
      (A o B)c = Ac y Bc
    • El complementario de la interseción de dos sucesos es la unión de los complementarios de dichos sucesos
      (A y B)c = Ac o Bc
    Puedes ver una demostración conjuntista de estas propiedades en la sección de Notas Matemáticas

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