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LA LEY DE LAPLACE
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Supongamos el experimento aleatorio consistente en lanzar una dado e intentemos calcular la probabilidad del suceso A ={"obtener número primo"}

E = A 1 o A 2 o A 3 o A 4 o A 5 o A 6
El espacio muestral de dicho experimento aleatorio es
E = {A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6}
en donde A i designa obtener el valor i. Como estos sucesos son incompatibles entre sí (sólo podemos obtener un resultado al lanzar el dado) y todos tienen la misma probabilidad de salir (estamos suponiendo un dado honesto) designemos por k la probabilidad de uno cualesquiera de ellos.
    Tendremos:
    1 = por   Axioma AII    = p(E) = por   Axioma AIII    =
    = p(A 1) + p(A 2) + p(A 3) + p(A 4) + p(A 5) + p(A 6) = 6 × k

    de donde k = 1/6 y

    p(A1) = p(A2) = p(A3) = p(A4) = p(A5) = p(A6) = k = 1/6

E = A 1 o A 2 o A 3 o A 4 o A 5 o A 6
A = A 2 o A 3 o A 5
Consieramos ahora el suceso A ={"obtener número primo"} = A 2 o A 3 o A 5.
    Su probabilidad es
    P(A) = p(A 2 o A 3 o A 5) =
    = p(A 2) + p(A 3) + p(A 5) =
    = 3 × 1/6 = 1/2
Es decir tres sucesos elementales que son favorables a la aparición de número primo estre los seis posibles del espacio muestral E. Esta regla puede generalizarse muy fácilmente a n sucesos elementales equiprobables del espacio muestral y se obtiene la denominada Regla de Laplace o Ley de Laplace.

La probabilidad de un suceso A es igual a


   Ejemplo 1
Suceso ´´la suma de los resultados obtenidos sea 7´´
Los 36 elementos del espacio muestral son igualmente probables. Como el suceso S está compuesto por 6 de estos elementos, aplicando la regla de Laplace resulta
p(S) = casos favorables / casos posibles =
= 6/36 = 1/6 = 0,1667
En el experimento aleatorio del lanzamiento de dos dados, consideramos el suceso ´´la suma obtenida sea 7´´
S = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

Los 36 sucesos elementales del espacio muestral son igualmente probables por lo que podemos asignar a cada uno de ellos la probabilidad 1/36. Como estos sucesos son disjuntos dos a dos, aplicando el Axioma AIII

p(S) = p((1,6)) + p((2,5)) + p((3,4)) +
+ p((4,3)) + p((5,2)) + p((6,1)) =
= 6/36 = 1/6 = 0,1667
   Ejemplo 2
Se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad de los sucesos
  • A = {CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C} = {"obtener al menos una cara"}
  • B = {CC+, C+C, +CC} = {"obtener dos caras"}
  • C = {C++, +C+, ++C, +++} = {"obtener más cruces que caras"}

    • El espacio muestral es, como ya sabemos,

    E = {CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C, +++}
    Todos estos sucesos elementales son igualmente probables e incompatibles dos a dos

    Suceso A
    Como el suceso A está compuesto de 7 casos favorables y existen 8 posibles, aplicando la Regla de Laplace resulta
    p(A) = 7/8 = 0,875
    		Suceso A
    Podemos asignar a cada suceso elemental del espacio muestral la probabilidad 1/8
    Como
    A = {CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C}
    tendremos
    p(A) = p(CCC) + p(CC+) + p(C+C) +
    + p(C++) + p(+CC) + p(+C+) + p(++C) =
    = 7 × 1/8 = 7/8 = 0,875

    El suceso contrario de A es
    (no A) = {"No obtener ninguna cara"} =
    = {+++}.
    Como p(A) + p((no A)) = 1 tendremos
    p(no A) = 1 - 0,8750 = 0,125
    Suceso B
    Como el suceso B está compuesto de 3 casos favorables y existen 8 posibles, aplicando la Regla de Laplace resulta
    p(B) = 3/8 = 0,375
    		Suceso B
    Como
    B = {CC+, C+C, +CC}
    tendremos
    p(B) = p(CC+) + p(C+C) + p(+CC) =
    = 3 × 1/8 = 0,375
    ya que a cada suceso elemental del espacio muestral se le ha asignado la probabilidad 1/8
    Suceso C
    Como el suceso C está compuesto de 4 casos favorables y existen 8 posibles, aplicando la Regla de Laplace resulta
    p(B) = 4/8 = 0,5
    		Suceso C
    Como
    C = {C++, +C+, ++C, +++}
    tendremos
    p(C) = p(C++) + p(+C+) +
    + p(++C) + p(+++) =
    = 4 ×1/8 = 0,5
    ya que a cada suceso elemental del espacio muestral se le ha asignado la probabilidad 1/8

    		Dos personas juegan a obtener la puntuación más alta lanzando cada una sus dados A y B. El dado A tiene cuatro caras con un 6 y las otras dos con un 10. El dado B tiene una cara con la puntuación 3, cuantro caras con la puntuación 6 y la cara restante con un 12. Cada jugador lanza su dado y gana quien tenga la puntuación más alta. Determinar la probabilidad de ganar de cada jugador y la probabilidad de empatar.
    Probabilidad de ganar A = 0,3889; probabilidad de ganar B = 0,1667;
    probabilidad de empatar = 0,444

    Hasta ahora se han tratado sucesos equiprobables del espacio muestral, pero qué ocurriría si jugásemos con un dado trucado. Por ejemplo, ¿cuál sería la probabilidad de obtener número primo con un dado trucado de tal forma que la probabilidad de obtener una determinada cara fuese proporcional a la numeración de dicha cara?. En este caso los sucesos del espacio muestral no son equiprobables y no podemos aplicar la regla de Laplace.
    Sea k la constante de proporcionalidad. Resulta
    p(A 1) = 1 × k
    p(A 2) = 2 × k
    p(A 3) = 3 × k
    p(A 4) = 4 × k
    p(A 5) = 5 × k
    p(A 6) = 6 × k
    		Ante todo veremos qué probabilidad asignamos a cada suceso del espacio muestral
    1 = p(E) =
    = p(A 1 o A 2 o A 3 o A 4 o A 5 o A 6) =
    = p(A 1) + p(A 2) + p(A 3) + p(A 4) +
    + p(A 5) + p(A 6) = 21 × k
    de donde k = 1/21 y resulta

    p(A 1) = 1 × k = 1/21
    p(A 2) = 2 × k = 2/21
    p(A 3) = 3 × k = 3/21
    p(A 4) = 4 × k = 4/21
    p(A 5) = 5 × k = 5/21
    p(A 6) = 6 × k = 6/21

    Entonces

    p(A) = p("obtener número primo") =
    = p(A 2 o A 3 o A 5) =
    = p(A 2) + p(A 3) + p(A 5) =
    = 10/21 = 0,476

    		Un dado con forma de tetraedro está cargado de manera que la cara 4 tiene doble probabilidad de salir que las restantes (que son equiprobables). Determinar la probabilidad de obtener número par al lanzarlo
    Probabilidad 0,6


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