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PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES
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Un problema que nos sirve de introducción
En el distrito universitario de Jauja los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20% estudian arquitectura, el 35% medicina y el 45% economía. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%. Elegido un alumno al azar determinar la probabilidad de que haya acabado los estudios.

Como Sea T el suceso "finalizar los estudios".
Como

E = A1 o A2 o A3
T = (T y E) = T y (A1 o A2 o A3) =
= (T y A1) o (T y A2) o (T y A3)
resulta
p(T) = p(T y A1) + p(T y A2) + (T y A3)
y por tanto
p(T) =
= p(A1) × p(T/A1) +
+ p(A2) × p(T/A2) +
+ p(A3) × p(T/A3)

Vemos todo esto mediante un diagrama de flujo y calculamos la probabilidad de que un alumno elegido al azar haya terminado los estudios.

Si A1, A2, y A3 son, respectivamente, los sucesos "estudiar arquitectura", "estudiar medicina" y "estudiar economía" resulta
Sp(Ai) = 1
y los sucesos A1, A2, y A3 son incompatibles (no existen estudiantes que cursen dos carreras).
Además
E = A1 o A2 o A3
En estas condiciones podemos aplicar el razonamiento de la columna de la izquierda.


A partir del razonamiento anterior podemos enunciar el siguiente teorema que es conocido como teorema de la probabilidad total

Si los sucesos A1, A2, A3 ... An son una partición () del espacio muestral E y T un suceso de S, entonces

Otro ejemplo y una pregunta
La fábrica de enlatados PI S.A. produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la máquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar la probabilidad de que un envase elegido al azar sea defectuoso.
Si D es el suceso "seleccionar un envase defectuoso" y (no D) = "seleccionar un envase no defectuoso", el diagrama siguiente nos muestra el camino
Aplicando el teorema anterior resulta:
p(D) = p(A y D) + p(B y D) = p(A) × p(D/A) + p(B) × p(D/B) = 0,028

Y ahora la pregunta ¿Si el envase seleccionado es defectuoso, qué probabilidad hay de que proceda de la máquina A? ¿Y de la B?
Es decir, sabemos que la botella seleccionada es defectuosa
La respuesta a dicha cuestión viene dada por la denominada fórmula de Bayes

Probabilidad de que provenga de la máquina A
Calculamos la probabilidad p(A/D) es decir, la probabilidad de que provenga de la máquina A en el supuesto que el envase es defectuoso:

Probabilidad de que provenga de la máquina B
Calculamos la probabilidad p(B/D) es decir, la probabilidad de que provenga de la máquina B en el supuesto que el envase es defectuoso:

Las expresiones

son las de la "fómula de Bayes" para cada uno de las preguntas formuladas. Estas expresiones pueden generalizarse facilmente para un conjunto finito de sucesos con las condiciones indicadas.

Podemos hacernos ahora varias preguntas que son fáciles de contestar. Por ejemplo:

  • ¿Si el envase no es defectuoso, qué probabilidad hay de que provenga de la máquina A?. ¿Y de la B?.
    O bien, teniendo en cuenta el primer ejercicio, ¿si un alumno seleccionado ha finalizado la carrera, qué probabilidad hay que haya estudiado arquitectura?. ¿Y medicina?

    Y además ya estamos en condiciones de resolver el problema enunciado en la portada.

    • Rev. Thomas Bayes
    Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres.

    Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es
    La tumba de Bayes en Bunhill Fields
    Reverendo Thomas Bayes.
    Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo.

    Miembro de la Royal Society desde 1742, Bayes fue uno de los primeros en utilizar la probabilidad inductivamente y establecer una base matemática para la inferencia probabilística.
    Publicó los trabajos:
    Divine Providence and Government Is the Happiness of His Creatures (1731)
    An Introduction to the Doctrine of Fluxions, and a Defence of The Analyst (1736)
    En 1763, dos años después de su muerte, se publica Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, en el que trataba el problema de las causas a través de los efectos observados, y donde se enuncia el teorema que lleva su nombre. El trabajo fue entregado a la Royal Society por Richard Price y es la base de la técnica bayesiana.


    En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde?. Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde?. ¿Y azul?.

    Un diagrama nos aclara la situación

    En donde (A1 y A2), es el suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).
    Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde)
    Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

    Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul)
    Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

    Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul)
    Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:


    		Los alumnos de Bachillerato de un I.E.S. proceden de 3 localidades A, B y C, siendo un 20% de A, un 30% de B y el resto de C. El 80% de los alumnos de A cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 50% de los alumnos de B cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º. El 60% de los alumnos de C cursa 1º de Bachillerato y el resto 2º.
    (a) Seleccionado, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S., ¿cuál es la probabilidad de que sea de 2º?.
    (b) Si elegimos, al azar, un alumno de Bachillerato de ese I.E.S. y éste es un alumno de 1º, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la localidad B?.

    		Según la estadística de los resultados en las Prueba de Acceso en una provincia andaluza, en septiembre de 2001, el número de alumnas presentadas es de 840, de las que han aprobado un 70%, mientras que el número de alumnos presentados es 668, habiendo aprobado un 75% de estos.
    (a) Elegida, al azar, una persona presentada a las Pruebas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado?.
    (b) Sabiendo que una persona ha aprobado, ¿cuál es la probabilidad de que sea varón?.

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