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TABLAS DE CONTINGENCIA
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Además de los clásicos diagramas de árbol, existe una buena técnica para resolver los problemas de probabilidad que son las tablas de contingencia.
Una tabla de contingencia es una es una distribución (una matriz) en filas y columnas en la que los individuos de una población se clasifican en función de algunas variables.
Como ejemplo, la siguiente es una tabla de contingencia en la que 300 personas se han clasificado según el sexo y por su adicción al tabaco.
En los mágenes de la tabla se indican las suma de filas y columnas.

Grados de libertad de una tabla de contingencia es el número de casillas que pueden fijarse de forma arbitraria cuando los totales por filas y columnas permanecen fijos.
En una tabla de contingencia de f filas y c columnas el grado de libertad es

G.L. = (f - 1)(c - 1)

Para la tabla anterior 2 × 2 el grado de libertad es 1. Con las condiciones dadas, fijada una casilla, podemos rellenar la tabla. Puedes comprobarlo rellenado ambas tablas

Podemos asociar a cada diagrama de árbol una tabla de contingencia y viceversa como puede intuirse en la siguiente figura.
Consideremos la tabla inicial de la distribución por sexo y fumadores. Dividiendo todas las casillas de la misma por 300 resulta
A la vista de la misma, podemos contestar, por ejemplo, a las siguientes preguntas:
  • Elegido una persona al azar hallar la probabilidad de que sea hombre
    (Casilla c13) p11 + p12 = 0,6

  • Elegido una persona al azar hallar la probabilidad de que sea hombre fumador
    (Casilla c11) p11 = 0,4

  • Elegido una persona al azar hallar la probabilidad de que sea mujer no fumadora
    (Casilla c22) p22 = 0,2333

  • Si se ha legido una hombre, ¿qué probabilidad hay de que sea fumador?
    Nos piden que calculemos p(F/H), es decir p(H y F) / p(H) para lo cual sólo tendremos que dividir el contenido de la casilla c11 entre el contenido de c13.
    p(F/H) = 0,4 / 0,6 = 0,6667
  • Si se ha elegido un fumador ¿qué probabilidad hay de que sea mujer?
    Nos piden que calculemos p(M/F), es decir p(M y F) / p(F) para lo cual sólo tendremos que dividir el contenido de la casilla c21 entre el contenido de c31.
    p(M/F) = 0,1667 / 0,5667 = 0,2942

  • En lo que sigue veremos algunos ejemplos de construcción de estas tablas a partir de los enunciados.
    EJEMPLO 1 Comenzamos construyendo la tabla de contingencia del primer ejemplo de la página anterior.
    En el distrito universitario de Jauja los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20% estudian arquitectura, el 35% medicina y el 45% economía. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%. Elegido un alumno al azar determinar la probabilidad de que haya acabado los estudios.

    Si son A, M y E los sucesos "estudiar arquitectura", "estudiar medicina" y "estudiar económica" y F y noF finalizar o no, comenzamos rellenando la columna de los totales (es un sistema exhaustivo), es decir las casillas c13, c23, c33, c43 como podemos ver en la primera tabla

    Como el 5% (del 20% de los alumnos de arquitectura) finalizan la carrera, el número de alumnos que finalizan arquitectura es el 1% (casilla c11). Igualmente el 12% del 35% de los estudiantes finalizan medicina, por lo que el 4,2% finalizan medicina (casilla c21). Por último el 18% del los 45% de los alumnos finalizan económicas por lo que colocamos en la casilla c23 el 8,1% correspondiente. La suma de estas casillas es 13,3 que colocamos en la casilla c41.
    Como el g.l de dicha tabla es 2, ya podemos completarla y obtenemos

    EJEMPLO 2
    Disponemos de dos dados trucados D1 y D2. el primero tiene dos cara con un "1" y cuatro caras con un "2" y el segundo tres caras con un "1" y otras tres con un "2". Se elige un dado al azar.
    (a) Hallar la probabilidad de obtener un "1"
    (b) Si se ha obtenido un "1" ¿qué probabilidad hay de que hayamos elegido el dado D2?
    Es inmediato construir la tabla de contingencia y a partir de ella tendremos
    (a) p("1") = (casilla c31) / (casilla c33) = 5/12
    (b) p(D2/"1") = (casilla c21) / (casilla c31) = 3/5

    Es inmediato traducir este ejemplo a un problema de bolas y urnas y enunciar:
    Disponemos de dos urnas U1 y U2. La primera tiene dos bolas blancas y y 4 bolas negras y la U2 3 bolas blancas y 3 negras. Se selecciona al azar una urna y se extrae una bola también al azar
    (a) Calcular la probalilidad de que sea blanca
    (b) Si la bola extraida ha sido blanca, determinar la probabilidad que hubiésemos seleccionado la U2.
    .
    La tabla de contingencia es la misma que la ya vista y los resultados, por tanto, también. Pero .....   


    EJEMPLO 3
    Disponemos de dos urnas U1 y U2. La primera con 2 bolas blancas y 4 negras. La segunda con 2 blancas y 3 negras. Se elige una urna al azar y se extrae una bola.
    (a) Calcular la probabilidad de que sea blanca.
    (b) Si la bola extraída ha sido blanca, ¿qué probabilidad hay de que haya sido extraída de U2?

    Si construímos la tabla de contingencia siguiendo el Ejemplo 2 resulta que p(B) = 4/11 que no es cierto como puede comprobarse fácilmente
    Esto es debido a que en las urnas no hay igual número de bolas en ambas
    Para evitar este "inconveniente" haremos que en las urnas haya el mismo número de bolas pero sin cambiar la proporción. Basta con que calculemos el mínimo común múltiplo de 5 y 6, m.c.m.(5, 6) = 30, y establezcamos las proporciones adecuadas
    A partir de la nueva composión tendremos la tabla
    y de ella
    p(B) = 22 / 60
    p(U2 / B) = 12 / 22

    EJEMPLO 4
    Se lanza un dado. Si sale "1" ó "2" se selecciona la urna U1 y si sale "3", "4", "5" ó "6" la urna U2.
    En la urna U1 hay 2 bolas blancas y 5 negras y en la U2 4 bolas blancas y 3 negras. Se extrae una bola
    (a) Calcular la probabilidad de que sea blanca
    (b) Si la bola extraída ha sido blanca determinar la probabilidad de que se haya extraído de la U1.

    Observemos que la probabilidad de seleccionar cada urna es distinta (el número de bolas en cada una de ellas es el mismo). Coma la primera está en la proporción 2/6 = 1/3 y la segunda 4/6 = 2/3 multiplicamos el contenido de U1 por 1 y el de U2 por 2. A partir de ahí resulta la tabla
    y de ella
    p(B) = 10 / 21
    p(U1 / B) = 2 / 10

    Si en el problema tratado las probabilidades de elección son distintas (como en el ejemplo 4) y si las urnas tienen distinto número de bolas (como en el ejemplo 3) seguiríamos sucesivamente los pasos ya indicados.
    Por ejemplo si en el ejemplo 4 el número de bolas fueran 2 bolas blancas y 2 negras en U1 y 4 blancas y 3 negras en U2, (mc.m.(4,7) = 28), multiplicaríamos la composición de la U1 por 1 × 7 = 7 y la de la U2 por 2 × 4 = 8

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