G.M. Historias
  El ángulo de Brocard   Julio A. Miranda Ubaldo (Perú)
Ángulo de Brocard
Sea un triángulo ABC cualquiera y ubiquemos en el interior un punto P de manera que

De acuerdo con este criterio construimos la figura adjunta.

El ángulo se denomina ángulo de Brocard y el punto P punto de Brocard

Existe una relación trigonométrica entre las medidas de los ángulos interiores del triángulo ABC y el ángulo de Brocard. Si entonces

Demostración
La figura adjunta muestra los trazos adecuados que indica el procedimiento siguiente:

Por B se traza una recta paralela al lado AC.
Se prolonga AP de modo que corte a dicha paralela en el punto F entonces


Luego unimos F con C y por F trazamos una perpendicular a la prolongación de AC en el punto G. Análogamente desde el punto B trazamos una perpendicular a AC en el punto H. Observemos BH = FG = h
Al ser el cuadrilátero PBFC es inscriptible.

Ahora bien del triángulo APB luego
Por tanto al ser el cuadrilátero PBFC inscriptible además que


En el triángulo rectángulo AGF resulta (#1) Como AG = AH + HC + CG sustituyendo en (#1)
(#2)
Por otra parte:
En el triágulo AHB
En el triágulo BHC
En el triágulo CGF
Sustituyendo estas expresiones en (#2) resulta la expresión buscada.
Estimado lector, ¿qué te pareció la desmostración?. Fácil ¿verdad?

Solución trigonométrica
Teniendo en cuenta que
y sustituyendo en resulta
de donde y por tanto q = 26º 33' 54.184" 		Aplicación
En la siguiente figura hallar el ángulo de Brocard
Solución geométrica
De la figura dada se observa que
(recuérdese que el triángulo rectángulo ABC es isósceles AB = BC) y además que y
Prolongamos BP y por el punto A trazamos una perpendicular a dicha prolongación en el punto Q. Entonces Por tanto el triángulo AQP es rectángulo isósceles en y en consecuencia AQ = PQ = a.
El triángulo BPC es congruente con el triángulo BQA (criterio ALA). En consecuencia: AQ = BP = a
Finalmente el triángulo BQA es rectángulo notable pues BQ = 2 × AQ, por tanto q = 26º 33' 54.184"


Como pueden notar la solución geomitrica es más laboriosa mientras que la solución trigonométrica es bastante práctica y sencilla. ¡Buen provecho! Julio A. Miranda Ubaldo


  El ángulo de Brocard