Sobre la longitud de la circunferencia y el área del cículo.  
Círculo y Circunferencia Una de las formas más difundidas de la Naturaleza es la circular. Casi todas las formas tienden a hacerse más o menos "redondeadas". Cuando en matemáticas un conjunto de puntos tiene una propiedad común dicho conjunto se denomina lugar geométrico.
El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro, que se denomina centro, es una circunferencia.
El segmento de recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia es el radio de la circunferencia.
La porción de plano limitada por una circunferencia (incluída la misma) se denomina círculo y el centro de la circunferencia es el centro del círculo.

Circunferencia rectificada
Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la circunferencia de la rueda.
Si dividimos la longitud entre el diámetro de la rueda obtenemos un valor que es independiente del tamaño de la rueda. Es decir, cualquier rueda, del tamaño que sea, al dar una vuelta completa recorre un camino de una determinada longitud. Si dividimos dicha longitud entre el diámetro de la rueda siempre obtenemos el mismo valor.
Este hecho era conocido por los babilonios y ya se encuentran noticias sobre el mismo en los papiros egipcios que se conservan en el Museo Británico. Esta relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es, posiblemente, la más popular de todas las constantes matemáticas: el número .
Dicho número, irracional, ha ocupado a generaciones de matemáticos y su atractivo perdura en nuestros dias.
Uno de los primeros trabajos fiables que se realizaron fué debido a Arquímedes

Comenzó inscribiendo y circunscribiendo en una circunferencia un hexágono, a continuación un dodecágono y así, doblando sucesivamente el número de lados, cuentan las crónicas que llegó hasta un poliígono de 96 lados.
Si designamos por I6, I12, ... I96, los perímetros de los polígonos regulares inscritos y por C6, C12,... C96 los de los polígonos regulares circunscrtos, Arquímedes llegó a la conclusión de que
es decir, los perÍmetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos de doble número de lados vienen dados por las medias armónica y geométrica.

Veamos cómo llegó Arquímedes a este resultado.
Consideró el hexágono inscrito y circunscrito a la circunferencia. Resulta:
I6 = 6 AB = 12 AH
C6 = 6 CD = 12 CG
En el triángulo COG, al ser OE la bisectriz de dicho ángulo, resulta
(pues la biscetriz interior de cualquier ángulo de un triángulo determina sobre el lado opuesto segmentos proporcionales a los lados de dicho águlo; la última igualdad resulta de OG = OA = r)
Como los triángulos COG y AOH son semejantes
y multiplicando y dividiendo por 12
Por tanto, resulta:
Sumando 1 a ambos miembros de dicha proporción y operando


(pues EC + EG =CG)

A continuación Arquímedes determina el lado del hexágono circunscrito para así obtener el perímetro C6
En OA'B' aplicando el teorema de Pitágoras resulta:
Como los triángulos OAB y OA'B' son semejantes
de donde

A partir de dichas expresiones, tomando como valor de r = 0,5 (tomaremos aproximación hasta las milésimas) tendremos:
I6 = 6 r = 3 C6 = 12 x = 3,464
I12 = 3, 105 C12 = 3, 215
I24 = 3, 132 C24 = 3, 159
I48 = 3, 139 C48 = 3, 146
I96 = 3, 141 C96 = 3, 142
Aquí, en la Gacetilla, mediante un programa, hemos obtenido las siguientes aproximaciones para
Lados In Cn
192 3, 141 4 3, 141 8
384 3, 141 55 3, 141 66
768 3, 141 58 3, 141 61
1536 3, 14159 0 3, 14159 7
3072 3, 14159 2 3, 14159 3
6144 3, 141592 5 3, 141592 9
12288 3, 141592 6 3, 141592 7
24576 3, 1415926 4 3, 1415926 7
49152 3, 14159265 1 3, 14159265 7
98304 3, 14159265 3 3, 14159265 4
196608 3, 141592653 4 3, 141592653 8
393216 3, 141592653 5 3, 141592653 6

Sobre el área del círculo.
Podemos considerar el círculo como un polígono regular de infinitos lados en el que la apotema se va convirtiendo en el radio. Esta consideración hace que podamos justificar fácilmente el área de un círculo de radio R a partir de la expresión que nos proporciona el área de un polígono regular, sin más que sustituir el perímetro por la longitud de la circunferencia.
circulo

Como el área de un polígono regular viene expresado por el producto del semiperímetro por la apotema y el semiperímetro de la circunferencia (la mitad de su longitud) es R
Área del Cículo = R . R = R 2

El cálculo integral es una poderosa herramienta matemática que permite formalizar estos resultados.
El área de la superficie limitada por la función continua y = f(x) , las rectas x = a, x = b y el eje de abscisas viene dada por la integral

La longitud de un arco de curva dado por la función continua y = f(x) (y con derivada continua) entre las rectas x = a y x = b viene dado por la integral

La expresión analítica de la circunferencia de centro (0,0) y radio R es
x 2 + y 2 = R 2
Vamos a calcular el área que limita dicha circunferencia y los ejes coordenados positivos.
La misma viene dada por
Efectuando el cambio de variable x = R sen (t) resulta

Por lo tanto, el áre del círculo limitado por una circunferencia de radio R es
Área = 4 A 1 = R 2

La longitud del arco que la circunferencia dada intercepta en el primer cuadrante viene dada por


Por lo tanto, la longitud de la circunferencia de radio R es
4.L= 2 R

Y eso es todo, por ahora.
Quedan varias cosas en el tintero, pero para comenzar no está mal, ¡eh! :-)


  Sobre la longitud de la circunferecia y el área del cículo