G.M. Historias
  Proporción cordobesa  
Rectángulo cordobés
En diversos trabajos de investigación (de arquitectura, sobre pintura, etc.) aparece un rectángulo que no está en la proporción áurea, sino que la relación entre sus lados es de 1,3... (Sin ir más lejos, si la resolución de tu ordenador es de 800x600, se encuandra en la misma proporción)

Si el número áureo puede establecerse como la relación existente entre el lado del decágono regular y el radio de la circunferencia circunscrita al mismo, pareció lógico buscar una relación de la misma naturaleza con la que dicha proporción quedara geométricamente fundamentada.
La misma quedó establecida al obtener la proporción buscada como la relación entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de éste.
Cualquier matemático, o buen aficionado, sabe que esta relación es:

Dicho cociente es c = 1,306562964 ... que se conoce como número cordobés
Al ser más fácil construir un octógono regular que un pentágono, dicha proporción se extendió rápidamente quedando de manifiesto en múltiples obras pictóricas y arquitectónicas.

Como ejemplos podríamos citar la bóveda cordobesa, y nada digamos de las bellas arcadas de la mezquita de Córdoba.
Según los trabajos del alemán Fechner esta proporción se establece en multitud de obras pictóricas.
Para el arquitecto Rafael de la Hoz Arderius (uno de los máximos investigadotres del tema) considerando las últimas técnicas de medición obtenidas del Papiro Rhind (museo Británico) entre las diagonales de un rectángulo con dicha proporción queda perfectamente encajada la Gran Pirámide
Y como los anteriores podríamos citar más ejemplos.
Los estudios efectuados sobre el tema indican que la proporción dicha está más extendida de lo que hasta ahora se creía.


  Fundamentos geométricos sobre el octógono regular  
Consideremos la circunferencia de radio R.
Si trazamos la bisectriz del primer cuadrante, el segmento NP = X es el lado del octógono regular inscrito en dicha circunferencia.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo NOM resulta que
(MN)2 = R2 + R2
por lo que

Por simetría OP' = MN/2 (ya que NP'= MN/2 y OP' = P'N)
Como QNP es recto, aplicando el teorema del cateto resulta:
X /QP = P'P/ X
de donde
X2 = QP. P'P = 2R (OP - OP')

es decir:

De esta expresión deducimos (considerando la circunferencia de radio unidad, radio R = 1) que:

  Construcción del rectángulo cordobés.  
 Teniendo en cuenta el apartado anterior es muy fácil construir un rectángulo en la proporción cordobesa.

Basta con trazar una circunferencia y la bisectriz del primer cuadrante. RT es un lado del rectángulo y el radio de la circunferencia el otro.


  Determinación sobre la recta real del número cordobés C  
 Consideramos el segmento unidad y trazamos una circunferencia de radio (2)1/2
La bisectriz del ángulo MOM' corta a dicha circunferencia en C'. Proyectando sobre la recta real obtenemos C.
En efecto

En el triángulo OCC'

Observa que

es la expresión trigonométrica del número cordobés.

  Dividir un segmento dado en la proporción cordobesa  
 Dado un segmento MN pretendemos encontrar un x, interior a MN que verifique (MP)/(MN) = C
Si MP = x y PN = 1 - x resulta:

Basta pues dividir el segmento dado proporcionalmente a c y a (1 + c)

Por último proponemos algunas cuestiones para el lector interesado:
  • (1) Hallar las soluciones de la ecuación 2x4 - 4x2 + 1 = 0
  • (2) ¿Cómo podríamos relacionar el rectángulo cordobés y el áureo?


  Proporción Cordobesa