gacetilla matematica Sphirolandia: un lugar muy formal

En una región muy próxima a la imaginación que hace frontera con la realidad, se encuentra un hermoso lugar matemático en donde viven eternamente un infinito número de individuos llamados "sphiros", seres esféricos de idénticas dimensiones y con una vocación indomable por agruparse.

Este lugar es un medio que está muy reglamentado con el fin de mantener un constante equilibrio entre los individuos que lo habitan y asegurar su existencia "por siempre y para siempre jamás".
Sphirolandia, pues, se basa en las siguientes REGLAS

Los "sphiros" pueden permanecer aislados si así los desean.
(Por supuesto no lo desean; pues simplemente no pueden evitar querer agruparse)
Cuando estánn aislados y buscan reunirse, solamente pueden agruparse en cadenas; jamás podrán formar conglomerados o amontonamientos que contravengan la tercera regla (ver siguiente regla).
Toda vez que los "sphiros" formen cadenas (filas)
1. No les es permitido agruparse con un idéntico número de elementos a cualquier cadena ya existente. Es decir, no debe haber más de una cadena con idéntico número de elementos. Cuando por accidente (o por el caso advertido en la quinta regla; expresada líneas más abajo) esto suceda, las cadenas con idéntico número de elementos se unirán de acuerdo con lo previsto en esta última regla mencionada.
2. Pueden unirse a otra cadena, alineando todos y cada uno de sus elementos para formar hileras y siempre comenzando este alineamiento por uno de los extremos de la cadena. (Convengamos en llamar filas a los elementos ordenados de manera horizontal e hileras a los ordenados de manera vertical).
3. Si lo desean pueden permanecer así unidos de manera indefinida pero, como ya lo sabemos, no lo desean; pues sencillamente no pueden evitar querer seguir agrupándose.
Toda vez que los inquietos y gregarios "sphiros" hayan alineado sus filas en hileras, podrán unirse a otros conjuntos de "sphiros" ordenados del mismo modo que se menciona en la tercera regla.
Toda vez que se junten cuatro filas de "sphiros", y muy a su pesar, se separarán en hileras, y cada una de las hileras cuyo número de "sphiros" sea idéntico, se unirán de acuerdo con la tercer regla.
Los "sphiros" que formen hileras de un solo elemento (suena extraño esto de "hileras de un único elemento" pero abusemos un poco del lenguaje para una mayor claridad) necesariamente se separarán unos de otros durante el proceso descrito en la quinta regla aunque, posteriormente al restablecimiento de la legalidad y, dada su terquedad, no se les prohibe que decidan volver a unirse como lo estaban poco antes de la desintegracisn o como se les di su muy regalada gana sin violar la segunda regla.
Las filas producidas durante la desintegracisn de las hileras (descrita en la quinta regla) reiniciarán el proceso indefinidamente.

Problemas Como en el ambiente que hemos creado hay un infinito número de "sphiros" en interacción, suponemos que hay un infinito número de procesos en los que interactúan "sphiros" solos o en cadena y esto garantiza la eternidad de éstos y sus interacciones. Pero si nos limitamos a un conjunto finito como el ejemplificado en la quinta regla, ¿habrá un retorno al límite que es el origen para estas interacciones o continuarán indefinidamente?. Y si continúan indefinidamente ¿será porque el proceso se convierte en un ciclo periódico o un proceso cíclico con infinidad de posibles historias? ¿Qué otras variantes serán posibles sin violar las reglar enunciadas?
Para quienes no les da la gana quebrarse la cabeza con los anteriores planteamientos sugerimos que aborden el siguiente problema que sólo se detiene en el lmmite que reinicia el proceso.

Caso I

Si ... 5§3 = 3(2) + 2(1)

Y ... 7§4 = 4(2) + 3(1)

Entonces [5§3]§[7§4] = 3(4) + 1(3) + 1(2) + 2(1)

5§3 = 3(2) + 2(1)	7§4 = 4(2) + 3(1)

[5§3]§[7§4] = 3(4) + 1(3) + 1(2) + 2(1)

Las línes se usan para indicar con mayor claridad las soluciones, pero se entiende que las filas están alineadas formadas por "sphiros" que están unidos en hileras. Por 5§3 indicamos dos filas de "sphiros" una de longitud 5 y otra de longitud 3, que es igual a 3(2) + 2(1) es decir 3 hileras de 2 spiros más 2 hileras de uno.

Caso II

Si ... 11§6 = 6(2) + 5(1)

Y ... 13§2 = 2(2) + 11(1)

Entonces [11§6]§[13§2] =

Caso III

Si ... 4§12 = 4(2) + 8(1)

Y ... 10§5 = 5(2) + 5(1)

Entonces [4§12]§[10§5] =

Caso IV

Si ... 5§7 = 5(2) + 2(1)

Y ... 2§3 = 2(2) + 1(1)

Entonces [5§7]§[2§3] =

Generalización (A quien no le interesen estos asuntos tan serios, continúe con las conclusiones, pero no saben lo que se pierden).
En el siguiente cuadro aparecen una serie de formalizaciones que nos permiten comprender de mejor manera la dinámica de nuestros “sphiros”. Primeramente entendemos que las literales “a, b, c, d” representan a números naturales desiguales ordenados “de menor a mayor”. Observamos que las interacciones que realizan los “sphiros” pueden ser expresados según las propiedades conmutativa y asociativa de la suma y que además, en el contexto de las reglas que hemos formulado, es posible enunciar una proposición que se refiere al límite permitido para el agrupamiento de estos entes y el comienzo de un nuevo ciclo. (Sería interesante diseñar algún programa de ordenador que permitiera experimentar con otras variables para llegar a generalizaciones más complejas y, por tanto, más interesantes).

{a, b, c, d} números Naturales

a < b < c < d

a§b = b§a Propiedad conmutativa

a§b = a(2) + (b - a)(1) = a + b

[a§b]§ [c§d] = [c§d]§ [a§b] Propiedades conmutativa y asociativa

[a§b]§ [c§d] = a(4) + (b-a)(3) + (c-b)(2) + (c-c)(1) = (a+b) + (c+d)

Conclusión; Antes de concluir: es nuestro deseo que estos ejercicios sirvan (sobre todo para los más jóvenes) como un aliciente para abordar de manera divertida los temas de la teoría de conjuntos.
Ahora sí, concluyamos que:

en los casos observados las cantidades se conservan; pero las combinaciones entre los "sphiros", según las reglas enunciadas, permiten o garantizan un movimiento perpetuo (interacciones entre los elementos, de manera indefinida) y la existencia del sistema como tal.

sphiros.zip (172 bytes)

Si lo deseas puedes comprobar tus soluciones de los Casos II, III y IV

Sphirolandia: un lugar muy formal