Después de revisar los mencionados casos, pudimos determinar el conjunto:

Con estos datos se procedió a realizar la siguiente figura que es una topografía recursiva que nos permite representar las R y operar con el presupuesto número once; es decir, ubicar las parejas resultantes de la determinación de la SdN de cualquier número en una recta numérica cerrada (0,9; -9, 0).

Veamos:    si dividimos 163 entre 18, el resultado sería 9 vueltas más un giro (posicisn final: R1 (resultante uno) el residuo indica la posición final del conteo; por otro lado, si realizamos la suma de los valores absolutos de 163, tendríamos Sda163 = 1 + 6 + 3 =10; como 10 > 9, entonces Sda10 = 1 + 0 = 1, es decir SdN163 = 1 (que arroja nuestra información inicial) y que decidimos que es la indicada para expresarse como R1 dado que 163 es número impar; de este modo, como conclusión expresamos: R163 = 1 (obviamente el mismo resultado).

Este último procedimiento es muy práctico para determinar las R de números muy grandes.

Por ejemplo: ¿Cuál es la R del número 4 597 863 282?
Resolveríamos así:

Veamos: si a 4 597 863 282 le cancelamos los dígitos 9 que contenga, queda el numeral 457863282 si, además, observamos que los dígitos subrayados suman nueve y los eliminamos, tendremos un nuevo numeral: 78282 si ahora observamos que los dígitos subrayados suman 18 que es múltiplo de nueve y los eliminamos tendremos el número 72 cuyo Sda = 7 + 2 = 9.

Con el fin de inferir algunas regularidades en la aplicación de nuestras doce presunciones, recurrimos al simple conteo de los "saltos" y las "vueltas" que se completarían con los primeros 36 números naturales (dado que 36 es múltiplo de 9).

Imaginemos una rana que realiza saltos a partir de cero de acuerdo con las instrucciones que nosotros le demos; por ejemplo: "rana, salta dos veces"; entonces nosotros procedemos a verificar el lugar dentro del círculo donde la rana ha llegado después de cumplir con la instrucción dada. Registramos el resultado en nuestra tabla de instrucciones en donde basicamente se da respuesta a las preguntas: si dentro de nuestra topografía la rana da saltos en número impar, ¿hasta dónde llegará?, ¿cuántos saltos (giros de 20º) tuvo que dar y cuántas vueltas (giros de 360º) completó para llegar hasta el lugar al que llegó (o sea la "resultante")?; a iguales preguntas tendríamos que dar respuesta cuando nuestras instrucciones involucren saltos en número par.

Hemos tenido cuidado de que nuestra tabla nos permita visualizar tanto las instrucciones en número par como las de número impar con el fin de visualizar las preguntas básicas que nos hemos planteado, junto con sus respuestas ("colapsos") para derivar algunas consecuencias que podamos expresar de manera formal acerca del comportamiento de la rana de acuerdo con nuestras instrucciones precisas.

Los conteos se realizaron comenzando por el punto cero de esta figura, en el sentido de las manecillas del reloj y se registraron: en la columna de "giros de 360º" las "vueltas" completas (18/18) (realizadas por la rana), en tanto que en la de "giros de 20º", los "saltos" (n/18) (dados por esa misma rana). En las dos últimas columnas se registraron los "resultantes" (R), que indican el punto en el cual el número cae o, si se prefiere, "se colapsa" después de haber realizado las Sda correspondientes (el lugar en el que aparece nuestra rana después de cumplir con nuestras instrucciones).

De la anterior tabla, derivamos las proposiciones (expresiones formales acerca del comportamiento de nuestra rana en un contexto preciso dadas una instrucciones también precisas):

• A. El conteo de números naturales (N):
  V(18) + n = N
  N/18 = V + n/18
  Significado: podemos enterarnos de las instrucciones dadas a la rana a partir de saber cuántas vueltas y giros completó y viceversa.
• B. Los "R" del conteo de Pares:
  n <= 8 > 0 -> n + 0 = R
  n > 8 < 18 -> n + (-18) = -R
  n = 0 -> R= 0
  Significado: cuando nuestras instrucciones a la rana están expresadas en números pares, la rana no tendrá otra opción que "colapsarse" en una posición par (negativa o positiva) o cero dentro de nuestra topografía, sin importar que el SdN del número par se exprese como impar.
• C. Los "R" del conteo de Impares:
  n <= 8 > 0 -> n + 0 = R
  n = 9 -> R, -R = 9, -9
  n > 8 < 18 -> n + (-18) = -R
  n = 1 -> R= 1
  Significado: cuando nuestras instrucciones a la rana están expresadas en números impares, la rana no tendrá otra opción que "colapsarse" en una posición impar (negativa o positiva) dentro de nuestra topografía, sin importar que el SdN del número impar se exprese como par.

Podemos obtener las siguientes "consecuencias" de las proposiciones enunciadas:
• Las "R" para los 2n, siempre serán pares (positivos o negativos) o cero.
• Las "R" para los 2n + 1, siempre serán impares (positivos o negativos).
• Las 2n + 1 no expresarán R = 0 al ser reducidos por sus Sda sucesivas.
• (R, -R) = (9, -9), expresa la recursividad del conjunto N y por tanto de sus propiedades.
• Para el caso de la "Conjetura Binaria de Goldbach", las proposiciones enunciadas permiten operar de manera más eficiente, mediante las SdN.
  Recordemos que la mencionada conjetura expresa: "¿Puede escribirse a todo número par igual o mayor a 4 como la suma de dos primos?" (11)

Así, por ejemplo: 2860 (par) puede descomponerse (entre otras opciones) en la suma de los primos: 2819 + 41.

Ahora bien, si aplicamos nuestro procedimiento tenemos:
Para 2n = 2860;

Para 2n + 1 = 2819;

Para 2n + 1 = 41;

Por lo tanto R = 2n > 2 (positivos o negativos) puede expresarse mediante las sumas de dos "R primos" presentes en nuestro modelo

Veamos:

(R = 4) se deduce de (R = 2) + (R = 2) como (-R = -4) se deduce de (-R = -2) + (-R= -2)
(R = 6) se deduce de (R = 3) + (R = 3) como (-R = -6) se deduce de (-R = -3) + (-R = -3)
(R = 8) se deduce de (R = 5) + (R = 3) como (-R = -8) se deduce de (-R = -5) + (-R =-3)

De este modo las "consecuencias 4 y 5" enunciadas en este trabajo son verdaderas y por lo tanto, creemos, también la conjetura binaria de Goldbach.

Actualmente estamos ocupados en agrupar números primos dentro de la topografía propuesta en este trabajo, así como en evidenciar sus "distancias" relativas verticales y horizontales para intentar descubrir alguna regularidad en su aparición dentro de la topografía mencionada. Adelantamos que hasta ahora los resultados nos hacen sospechar de la presencia de una simetría subyacente en la aparente disimetría con la que ocurre la aparición de los números primos.

Bibliografía

Mario Peral Manzo
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD 152, ATIZAPÁN
mario_peral_manzo@hotmail.com