G.M. Historias
  Herón de Alejandría  

Herón de Alejandría

Entre los muchos "Herón" que existen en la historia de las ciencias técnico-matemáticas unos de los más importantes fue el de Alejandría (que por cierto parece ser que tampoco nació allí sino en Ascra). Si tiene más fundamento el que era de origen humilde y fué, en su juventud, zapatero. Tampoco existen datos dignos de crédito respecto a su nacimiento (?126 a.C.) ni a su muerte (?50 a.C.). Fué el inventor de máquinas como la dioptra, el odómetro (sistema de engranajes combinados para contar las vueltas de una rueda) o, quizás el más importante, la eolipila, un precursor de la turbina de vapor.

Su obra, si es la de un solo autor, fué bastante amplia.
(Marcaremos con (+) las que han llegado a nososotros)

  • Obras de carácter científico:
    • (+) Métrica. Fragmentos dispersos en una veintena de manuscritos y algunos de origen dudoso, tiene una finalidad eminentemente práctica. Estuvo perdida hasta que fué descubierto, en 1896, un manuscrito de 1100.
      Libro I. Estudio de áreas, cuadrilátero, polígonos regulares, figuras circulares, elipse,...)
      Libro II. Dedicado al estudio de volúmenes siguiendo una estructura parecida al Libro I.
      Libro III. Dedicado a la división de figuras en partes proporcionales.
    • Escolios de Euclides (citados por Proclo)
    • (+) Mecánica.
      Libro I. Se ocupa de las proporciones de figuras.
      Libro II. Trara de las máquinas simples (torno, palanca, polispasto, cuña y tornillo).
      Libro III. Tratado de aplicaciones de la mecánica.
  • Técnicas:
    • (+) Neumáticas. Más conocidas por su nombre latino 'Pneumaticorum libri duo'. En el prefacio se trata el concepto de vacío de forma científica por primera vez.
    • Catóptrica. que trata de los espejos planos, cóncavos y convexos. (Esta obra fué atribuída durante bastante tiempo a Ptolomeo).
    • (+) Dioptra, donde trata el uso de este aparato que fué utilizado durante bastante tiempo en observaciones astronómicas.
  • Mecánica aplicada:
    • Relojes hidráulicos (mencionados por Pappus). Sólo se conserva un fragmento en el que habla de la clepsidra
    • (+) Máquinas de guerra
    • (+) Quirobalista
    • (+) Autómatas
    • Los equilibrios
    • Sobre los vasos hidráulicos



El camino más corto
Euclides en su Óptica, enunció que la luz atraviesa el espacio en linea recta y en la Catóptrica enuncia la ley de la reflexión.
Cuatro siglos después, Herón observó que dicha ley es consecuencia del hecho de que la luz debe tomar siempre el camino más corto.
En Dioptra. prop. 4. demuestra el teorema.
Un ejemplo nos hará ver mejor qué quería decir Herón.
Supongamos un hombre que se encuentra en P y desea ir hasta Q, pero antes desea llenar un cubo de agua en r. ¿Cuál es el camino más corto?
Para averiguarlo determinamos P' el simétrico de P respecto de r; sea M el punto de intersección con r de la recta P'Q y M'cualquier otro punto de r. Los ángulos x, y, z son iguales (luego P'M = MP y P'M'= M'P); como la suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercero resulta P'Q < P'M'+ M'Q y puesto que P'Q = P'M + MQ resulta
PM + MQ < PM'+ M'Q

La trayectoria que debe recorrer una pelota de billar (blanca) para dar en la roja, después de rebotar en una banda es la indicada en amarillo. Si tira a cualquier otro punto de dicha banda no hará carambola.

La trayectoria de la bola blanca, rebotando primero en la banda B y posteriormente en la B' es la indicada en color amarillo.
¿Cuál sería la trayectoria rebotando primero en B' y luego en B?
¿Y a tres bandas?


En la Métrica, existen ejemplos sobre el cálculo de raíces cuadradas, método que posiblemente ya conocían los babilonios y también Arquímedes; también calcula la raíz cúbica de 100.
Para calcular las raíces cuadradas, utiliza la siguiente regla: si deseamos calcular (N) 1/2 y p es una aproximación, entonces es una mejor aproximación.

No ocurre igual con el cálculo de la raíz cúbica de 100 y deducir una regla es más difícil (¿No?)

Cálculo de la raíz cúbica de 100
  1. Considera los cubos anterior y posterior a 100, esto es 64 y 125, luego la raíz cúbica buscada estará entre las de estas cantidades.
  2. Determina las diferencias
    125 - 100 = 25 (= 5 2)
    100 - 64 = 36
  3. Multiplica 36 x 5 = 180 y lo añade al número propuesto, es decir 100 + 180 = 280
  4. Divide 180 entre 280 y obtiene 9/14
  5. Añade este valor a la raíz cúbica de 64, es decir a 4, y obtiene 65/14
De esta forma determina la raíz cúbica de 100 con una aproximación menor que 0,02.

Posiblemente la expresión matemática más conocida de Herón sea su fórmula para determinar el área de un triágulo conocidos sus lados. Algo realmente útil en aquellos tiempos. Si bien parece que era conocida por Arquímedes, la primera demostración que nos ha llegado figura en la Métrica. El teorema nos garantiza, conociendo las lados de un triángulo, conocer su área, mediante la expresión
Fórmula de Herón
donde a, b y c son los lados del triángulo y p la mitad del perímetro del mismo.
Aunque ya conocemos una demostración de este teorema en Calculando el área de un triángulo, seguiremos ahora, con la notación actual, el camino que siguión Herón para llegar a dicha expresión. ¡Verdadero encaje de bolillo.!
En primer lugar inscribió un círculo en el triángulo y dedujo que el área del mismo era A = r.p (siendo r el radio del círculo y p la mitad del perímetro del triángulo). Como la demostración es, esencialmente, la misma que figura en Calculando el área de un triángulo, la omitimos.

A continuación estudia los triángulos que se forman y llega a la conclusión de que son congruentes las siguientes parejas de triángulos:

AOM y AOP, BON y CON, AOP y COP
por lo que resulta: AM = AP, BM = BN, CP = CN y además
ángulo (AOM) = ángulo (AOP)
ángulo (BOM) = ángulo (BON)
ángulo (COP) = ángulo (CON)
Está clara la intención de Herón al intentar tener sobre la recta base del triángulo la longitud del semiperímetro. No sólo eso, sino que sobre la misma base determina p - a, p - b y p - c, con lo cuál tiene sobre dicho segmento todos los elementos que intervienen en la fórmula. ¡Genial! ... pero aún falta mucho ...
Seguidamente prolongó la base AB hasta C' de forma que AC'= PC (= CN) y argumentó

BC' = BM + MA + AC'= BM + MA + CN =
    = 1/2 ( 2 BM + 2 MA + 2 CN) =
    = 1/2 ( (BM + AM) + (AM + AP) + (CN + CP) ) =
    = 1/2 ( (BM + AM) + (BN + NC) + (AP + PC) ) =
    = 1/2 (a + b + c ) = p (semiperímetro)

p - c = (C'A + AM + MB) - (AM + MB) = C'A
p - b = (C'A + AM + MB) - (CP + PA) =
(C'A + AM + MB) - (C'A + AM) = MB
p - a = (C'A + AM + MB) - (CN + NB) =
(C'A + AM + MB) - (C'A + MB) = AM
(Reconozco que cuando llegué aquí la primera vez que seguí esta demostración estaba perdido.)
En este momento de la demostración, Herón traza una perpendicular a la base por A y otra al segmento OB (por O). Ambas se cortan en T y une dicho punto con B. Obtiene de esta forma un cuadrilátero TAOB tal que sus ángulos opuestos suman dos rectos (Euclides III.22: " Los ángulos opuestos de los cuadriláteros en los círculos son iguales a dos rectos". El cuadrilátero dado se puede inscribir en un círculo por ser TO perpendicular a OL y AT perpendicular a AB. ¿Cuál es el centro de dicho círculo?); es decir ATB + AOB = 180°.
Como 2x + 2y + 2z = 360° resulta que x + y + z = 180°; puesto que y + z = AOB resulta que x + AOB = 180° = ATB + AOB y concluye que ATB = x.

A continuación Herón comienza a comparar parejas de triángulos semejantes
Son semejantes los triángulos POC y ATB.
(¿ Por qué?)
AB/AT = PC/r y como PC = C'A resulta
AB/AC' = AT/r
También son semejantes los triángulos KAT y KMO (¿ Por qué?)
AT/AK = OM/KM = r/KM, por lo que
AT/r = AK/KM
Teniendo en cuenta las dos proporciones anteriores resulta AB/AC' = AK/KM; sumando 1 a cada miembro de esta igualdad:
AB/AC'+ 1 = AK/KM + 1
(AB + AC')/AC' = (AK + KM)/KM
C'B/AC' = AM/KM, expresión equivalente a
(C'B.C'B)/(AC'.C'B) = (AM.MB)/(KM.MB) o bien
C'B 2.KM.MB = AC'.C'B.AM.MB

A continuación Herón considera el triángulo BOK, que es un triángulo rectángulo de altura r, que es precisamente la altura relativa a la hipotenusa; aplicando el teorema de la altura ("En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que sobre la misma determina)", establece que r 2 = KM.MB.

Sustituyendo en la expresión anterior tenemos:

C'B 2.r 2 = AC'.C'B.AM.MB
que son cada uno de los segmentos determinados sobre la base del triángulo; sustituyendo y manipulando las expresiones:
C'B 2.r 2 = p.(p - a).(p - b). (p - c)
(C'B.r) 2 = p.(p - a).(p - b). (p - c)

Pero C'B.r = p.r = Área, según se deduce al comienzo de la demostración (¡Parecía que no serviría para nada!), por lo que:
Área 2 = p.(p - a).(p - b). (p - c)

Q.E.D.   
Quod Erat Demonstrandum.   

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