gacetilla matematica teorema del seno

Teorema del Seno
Existe una relación muy úil para la resolución de triángulos que relaciona los lados con los águlos. Esta relación es conocida como teorema del seno
	En el triángulo AC´C se verifica de donde h_c = b × sen(A) Análogamente en el triángulo BC´C y obtenemos h_c = a × sen(B) Igualando ambas expresiones resulta la igualdad a × sen(B) = b × sen(A) expresión equivalente a Igualmente podemos considerar los triángulos rectágulos AA´C y ABAá al trazar la altura relativa al vértice A. Mediante un razonamiento análogo al anterior obtendremos
De las expresiones obtenidas podemos deducir que expresión conocida como teorema del seno (o de los senos) y que demuestra que la relación que existe entre los lados de un triángulo y los senos opuestos es siempre la misma.

El teorema es válido para cualquier tipo de triágulo.

En el triángulo obtusángulo de la figura si consideramos la altura h_c relativa al vértice C, en el triángulo rectángulo AC´C resulta h_c = b × sen(A) y en el triángulo rectángulo BC´C

sen(δ) = sen(180 - B) = sen(B) = h_c/a

de donde h_c = a × sen(B).
Igualando ambas expresiones obtenemos

Si consideramos la altura h_a o bien h_b y razonando de forma análoga obtenemos nuevamente la expresión del teorema.

A partir del Teorema del Seno podemos relacionar fácilmente una triángulo con la circunferencia circunscrita al mismo.
Si consideramos el triángulo ACB y es BM = d el diámetro de la circunferencia circunscrita, el triángulo BMC es recto en C y los ángulos A y M son iguales (pues abarcan el mismo arco BC).
De todo ello resulta que sen(A) = sen(M) y como sen(M) = a/d

Es decir, que en cualquier triángulo la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Una demostración vectorial del Teorema del Seno
(En lo que sigue, las magnitudes vectoriales se designan en negrita)
Efectuamos el producto vectorial AB × AC.
Como AB = AC + CB y el producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores, resulta

AB × AC = (AC + CB) × AC =
= AC × AC + CB × AC = CB × AC

Repitiendo el mismo procedimiento, ahora teniendo en cuenta que AC = AB + BC

AB × AC = AB × (AB + BC) =
= AB × AB + AB × BC = AB × BC

Es decir, los vectores AB × AC, CB × AC y AB × BC son iguales y por tanto tienen el mismo módulo

Como
   | AB × AC | = | AB | | AC | sen(A) = c b sen(A)
   | CB × AC | = | CB | | AC | sen(C) = a b sen(C)
   | AB × BC | = | AB | | BC | sen(B) = c a sen(B)
es decir

c b sen(A) = a b sen(C) = c a sen(B)

y dividiendo esas igualdades por abc, se obtiene el teorema.