Reseñas Matemáticas
Teorema del Seno
    Existe una relación muy úil para la resolución de triángulos que relaciona los lados con los águlos. Esta relación es conocida como teorema del seno
En el triángulo AC´C se verifica de donde
h c = b × sen(A)
Análogamente en el triángulo BC´C y obtenemos
h c = a × sen(B)
Igualando ambas expresiones resulta la igualdad a × sen(B) = b × sen(A) expresión equivalente a
Igualmente podemos considerar los triángulos rectágulos AA´C y ABAá al trazar la altura relativa al vértice A. Mediante un razonamiento análogo al anterior obtendremos
De las expresiones obtenidas podemos deducir que
Teorema del seno
expresión conocida como teorema del seno (o de los senos) y que demuestra que la relación que existe entre los lados de un triángulo y los senos opuestos es siempre la misma.

El teorema es válido para cualquier tipo de triágulo.
En el triángulo obtusángulo de la figura si consideramos la altura h c relativa al vértice C, en el triángulo rectángulo AC´C resulta h c = b × sen(A) y en el triángulo rectángulo BC´C
sen(δ) = sen(180 - B) = sen(B) = h c/a
de donde h c = a × sen(B).
Igualando ambas expresiones obtenemos
Si consideramos la altura
h a o bien h b y razonando de forma análoga obtenemos nuevamente la expresión del teorema.

A partir del Teorema del Seno podemos relacionar fácilmente una triángulo con la circunferencia circunscrita al mismo.
Si consideramos el triángulo ACB y es BM = d el diámetro de la circunferencia circunscrita, el triángulo BMC es recto en C y los ángulos A y M son iguales (pues abarcan el mismo arco BC).
De todo ello resulta que sen(A) = sen(M) y como sen(M) = a/d
Es decir, que en cualquier triángulo la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

ActualizadoUna demostración vectorial del Teorema del Seno
(En lo que sigue, las magnitudes vectoriales se designan en negrita)
Efectuamos el producto vectorial AB × AC.
Como AB = AC + CB y el producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores, resulta

AB × AC = (AC + CB) × AC =
= AC × AC + CB × AC = CB × AC

Repitiendo el mismo procedimiento, ahora teniendo en cuenta que AC = AB + BC

AB × AC = AB × (AB + BC) =
= AB × AB + AB × BC = AB × BC

Es decir, los vectores AB × AC, CB × AC y AB × BC son iguales y por tanto tienen el mismo módulo

| AB × AC | = | CB × AC | = | AB × BC |
Como
   | AB × AC | = | AB | | AC | sen(A) = c b sen(A)
   | CB × AC | = | CB | | AC | sen(C) = a b sen(C)
   | AB × BC | = | AB | | BC | sen(B) = c a sen(B)
es decir
c b sen(A) = a b sen(C) = c a sen(B)
y dividiendo esas igualdades por abc, se obtiene el teorema.