Reseñas Matemáticas
Teorema del Coseno
En el triángulo rectángulo AC´C se verifica
b 2 = m 2 + hc2
siendo m la proyección ortogonal del lado b sobre c y hc la altura relativa al vértice C.
    Si m y n son las proyecciones ortogonales de los lados b y a sobre el lado c y consideramos el triángulo rectángulo BC´C resulta
a 2 = hc2 + n 2 = hc2 + (c - m) 2 =
= (hc2 + m 2) + c 2 - 2cm = b 2 + c 2 - 2cm
Expresión que proporciona el valor del cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo
Como en el triángulo rectángulo AC´C es m = b×cos(A), si sustituimos en la expresión anterior
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos(A)
Teorema del Coseno
El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido.

En el triángulo rectángulo AC´C se verifica
b 2 = m 2 + hc2
siendo m la proyección ortogonal del lado b sobre c y hc la altura relativa al vértice C.
    Sea el triángulo BAC obstusángulo en A. Si m es la proyección ortogonal del lado b sobre c tendremos
a 2 = hc2 + (c + m) 2 = c 2 + 2mc + (m 2 + hc2) =
= b 2 + c 2 + 2cm    (*)
Expresión que proporciona el valor del cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso
Como en el triángulo AC´C resulta que
m = b cos(180 - A) = - b cos(A)
si sustituimos en (*) volvemos a obtener la expresión obtenida anteriormente para el teorema del coseno. Es decir, dicho teorema se verifica para cualquier tipo de triángulo. (Para el caso particular que A = 90º obtendríamos el teorema de Pitágoras)
Tanto la expresión del cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo como la del cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso son dos excelentes criterios para determinar con qué tipo de triángulo nos encontramos. Según que el cuadrado del lado de un triángulo sea menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos, el ángulo seráa agudo, recto u obtuso.
  • Si los lado de un triángulo vinen dados por la terna (3,4,5) se trata de un triángulo rectángulo pues 3 2 + 4 2 = 5 2.

  • Si los lados vienen dado por la terna (3,5,7) se trata de un triángulo obtusángulo pues 3 2 + 5 2 = 34 < 7 2.

  • Si la terna de los lados es (7,8,10) el triángulo es acutángulo pues 7 2 + 8 2 = 113 > 10 2


  • Una demostración vectorial del Teorema del Coseno
    Consiederemos un triángulo cualquiera ABC en el que a + b = c y las longitudes de los lados de dicho triángulo son los módulos de los vectores a, b y c.
    Multiplicando escalarmente a por sí mismo tenemos:
    aa = (c - b)(c - b) = bb + cc - 2 bc =
    = |b| 2 + |c| 2 - 2 |b||c| cos (b, c)
    Es decir
    |a| 2 = |b| 2 + |c| 2 - 2 |b||c| cos (b, c)