gacetilla matematica teorema de Morley

Teorema de Morley

Aplicando el terema del seno al triángulo BXA resulta

Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de dicho teorema en el triángulo BCA

siendo r el radio de la cincunferencia ciscunscrita a dicho triángulo.
Como, además 3a + 3b + 3g = 180º resulta

a + b + g = 60º

Despejando en (#1) y tendiendo lo anterior en cuenta

Es decir

AX = 8r sen(b) sen(g) sen (60º + g) (#2)

Análogamente

AY = 8r sen(b) sen(g) sen (60º + b) (#3)

Por otro lado, aplicando el teorema del coseno al triángulo XYA

XY² = AX² + AY² - 2 AX AY cos(a)

y sustituyendo (#2) y (#3) tendremos

por tanto

XY = 8r sen(A) sen(B) sen (g )

y por simetría

XY = YZ = XZ c.q.d.

Puede calcularse el corchete de la última expresión mediante el siguiente cambio de variable

60º + b = x; 60º + g = y; a = z

Como a + b + g = 60º resulta x + y + z = 180º de donde z = 180º - (x + y) y

cos(a) = cos (z) = cos [180º - (x + y)] = cos (x + y)

Entonces, el contenido del corchete es igual a

sen²(x) + sen²(y) + 2 sen(x) sen(y) cos(x + y) =
= sen²(x) + sen²(y) + 2 sen(x) sen(y) (cos(x) cos(y) - sen(x) sen(y) =
= sen²(x) (1 - sen²(y)) + sen²y (1 - sen²(x)) + 2 sen(x) sen(y) cos(x) cos(y) =
= (sen(x) cos(y) + cos(x) sen(y))² = sen²(x + y) = sen²z = sen²(a)

-jcb-