gacetilla matematica estudio de funciones cartesianas

Gráficas de funciones

Función Valor Absoluto

Es continua en R pero no derivable en x = 0

Ejemplo 1 f(x) = | x - 2 |

Continua en R (por ser función compuesta de funciones continuas) y no derivable en (2,0)
Ejemplo 2 f(x) = | x - 1 | + 3

Continua en R (por ser función compuesta de funciones continuas) y no derivable en (1,3)

Ejemplo 3 f(x) = | x² - 1 |

Continua en R (por ser función compuesta de funciones continuas) y no derivable en (1,0) ni en (-1,0)

Discontinua en x₀Z Función parte entera de x    f(x) = [ x ]

Ejemplo 1   f (x) = [ x - 1 ]

Ejemplo 2   f (x) = [ x² ]

Es una función par: f(x) = f( -x)
(Simétrica respecto del eje de ordenadas).

Función parte decimal de x
D(x) = x - [ x ] (Mantisa de x)
Si xZ => D(x) = 0
Si x(0, 1) => [ x ] = 0 => D(x) = x
Si x(1, 2) => [ x ] = 1 => D(x) = x - 1
Si x(2, 3) => [ x ] = 2 => D(x) = x - 2
................
Si x(-1, 0) => [ x ] = -1 => D(x) = x + 1
Si x(-2, -1) => [ x ] = -2 => D(x) = x + 2
Si x(-3, -1) => [ x ] = -3 => D(x) = x + 3
................

Función signo de x    f(x) = sg(x)

Ejemplo 1    f(x) = sg(x - 1)

Ejemplo 2    f(x) = sg(x³ - x)

Función   f (x) = x⁴ - 2x²
Dominio: R
Signo: Negativa en
Positiva en
Cortes con los ejes: (0,0),
Simetrías: Par (simétrica respecto OY)

Monotonía
Creciente: (-1, 0)(1, +inf)
Decreciente: (-inf, -1)(0, 1)
Máximo: (0, 0);
Mínimos: (1 -1), (-1, -1) Concavidad
Convexa:
Cóncava:
Punto de inflexión:

Función  f(x) = x(x - 3)²
Dominio: R
Signo: Negativa en (- inf, 0) Positiva en (0, +inf)
Cortes con los ejes: (0, 0), (3, 0)
Simetrías: No

Monotonía
Creciente: (-inf, 1)(3, +inf)
Decreciente: (1, 3)
Máximo: (1, 4);
Mínimo: (3, 0) Concavidad
Convexa: (2, +inf)
Cóncava: (-inf, 2)
Punto de inflexión: (2, 2)

Función   f(x) = 2x³ - 3x²
Dominio: R
Signo: Negativa en (- inf, 3/2) Positiva en (3/2, +inf)
Cortes con los ejes: (0, 0), (3/2, 0)
Simetrías: No

Monotonía
Creciente: (-inf, 0)(1, +inf)
Decreciente: (0, 1)
Máximo: (0, 1);
Mínimo: (1, -1) Concavidad
Convexa: (1/2, +inf)
Cóncava: (-inf, 1/2)
Punto de inflexión: (1/2, -1/2)

Función   f(x) = x³ - 3x² - 2
Dominio: R
Signo: f(3)<0; f(4)>0
Cortes con los ejes: en x = 3,195 que pertence al intervalo (3, 4)
Simetrías: No

Monotonía
Creciente: (-inf, 0)(2, +inf)
Decreciente: (0, 2)
Máximo: (0, -2);
Mínimo: (2, -6) Concavidad
Convexa: (1, +inf)
Cóncava: (-inf, 1)
Punto de inflexión: (1, -4)

Función
Dominio: R - {- 1/2}
Corte con los ejes: (0, -1), (1, 0)
Simetrías: No

Monotonía
Creciente siempre
Extremos: No Concavidad
Convexa: (-inf, -1/2)
Cóncava: (-1/2, +inf)
Punto de inflexión: No Asínotas
Horizontal: y = 1/2
Vertical: x = - 1/2

Función
Dominio: R - {0}
Corte con los ejes: (-1, 0)
Simetrías: No

Monotonía
Siempre decreciente
Extremos: No Concavidad
Convexa: (0, +inf)
Cóncava: (-inf, 0)
Punto de inflexión: No Asínotas
Horizontal: y = 1
Vertical: x = 0

Función
Dominio: R - {1}
Corte con los ejes: (0,0)
Simetrías: No

Monotonía
Creciente en: (-inf,0)(2,+inf)
Decreciente en: (0,2)
Máximo en (0,0)
Mínimo: (2,8) Concavidad
Convexa: (1, +inf)
Cóncava: (-inf, 1)
Punto de inflexión: No Asínotas
Oblicua: y = 2x + 2
Vertical: x = 1

Función
Dominio: R - {0}
Corte con los ejes: No
Simetrías: No

Monotonía
Creciente:

Decreciente

Máximo:
Mínimo: Concavidad
Convexa: (0, +inf)
Cóncava: (-inf, 0)
Punto de inflexión: No Asínotas
Oblicua: y = x - 1
Vertical: x = 0

Función
Dominio: R - {-1,1}
Corte con los ejes: (0,0)
Simetrías: origen f(-x) = - f(x)

Monotonía
Creciente:

Decreciente

Máximo:
Mínimo: Concavidad
Convexa: (-1,0)(1, +inf)
Cóncava: (-inf, -1)(0,1)
Punto de inflexión: (0,0) Asínotas
Oblicua: y = x
Verticales: x = ± 1

Función
Dominio: R - {1}
Corte con los ejes: (0,0)
Simetrías: No

Monotonía
Creciente:
(-inf,1)(3,+inf)
Decreciente: (1,3)
Mínimo: (3, 27/4) Concavidad
Convexa: (0,1)(1, +inf)
Cóncava: (-inf, -0)
Punto de inflexión: (0,0); Tangente horizontal. Asínotas
Oblicua: y = x + 2
Verticales: x = 1
Corte asíntota oblicua:
(2/3, 8/3)

Función
Dominio: R - {0}
Corte con los ejes:
Simetrías: Origen

Monotonía
Creciente en todo su dominio. Concavidad
Convexa: (-inf,0)
Cóncava: (0,-inf)
Asínotas
Oblicua: y = x
Verticales: x = 0

Función
Dominio: R - {-1,10}
Corte con los ejes: (0, 0)
Simetrías: Origen

Monotonía
Decreciente en todo su dominio. Concavidad
Convexa: (-1,0)(1,+inf)
Cóncava: (-inf,-1)(0,1)
Punto inflrxión: (0,0) Asínotas
Horizontal y = 0
Verticales: x = ±1

Función
Dominio: R
Corte con los ejes: (0, -1), (±2,0)
Simetrías: Eje OY (Par)

Monotonía
Creciente en (0,+inf)
Decreciente en (-inf,0)
Mínimo: (0,-1) Concavidad
Convexa:
Cóncava:
Punto inflexión: Asínotas
Horizontal y = 1

Función
Dominio: R
Corte con los ejes: (0, 0)
Simetrías: Origen

Monotonía
Creciente:(-1,1)
Decreciente: (-inf,-1)(1,+inf)
Máximo: (1, 1/2)
Mínimo: (-1, -1/2) Concavidad
Convexa:

Cóncava:
Punto inflexión: (0,0), Asínotas
Horizontal y = 0

Función
Dominio: R
Corte con los ejes: (0, 1)
Simetrías: Par

Monotonía
Creciente:(-inf,0)
Decreciente: (0,+inf)(1,+inf)
Máximo: (0,1) Concavidad
Convexa:

Cóncava:
Punto inflexión: (0,0), Asínotas
Horizontal y = 0

Función   f(x) = (1 - x) e^x
Dominio: R
Corte con los ejes: (0,1), (1,0)
Simetrías: No

Monotonía
Creciente:(-inf,0)
Decreciente: (0,+inf)(1,+inf)
Máximo: (0,1) Concavidad
Convexa: (-inf, -1)
Cóncava: (-1, +inf)
Punto inflexión: (-1, 2/e) Asínotas
Horizontal y = 0 cuando x tiende a -inf

Función
Dominio: R
Corte con los ejes: (0,0)
Simetrías: Origen

Monotonía
Creciente Concavidad
Convexa: (-inf, 0)
Cóncava: (0, +inf)
Punto inflexión: (0,0) Asínotas
Horizontal y = 1 cuando x tiende a inf;
y = - 1 cuando x tiende a -inf

Función  f(x) = x e^x
Dominio: R
Corte con los ejes: (0,0)
Simetrías: No

Monotonía
Creciente: (-1, +inf)
Decreciente: (-inf, -1)
Mínimo: (-1, -1/e) Concavidad
Convexa: (-2, +inf)
Cóncava: (-inf, -2)
Punto inflexión: (-2, -2/e²) Asínotas
Horizontal y = 0 cuando x tiende a -inf

Función  f(x) = x² e^-x
Dominio: R
Corte con los ejes: (0,0)
Simetrías: No

Monotonía
Creciente: (0, 2)
Decreciente: (-inf, 0)(2, +inf)
Máximo: (2, 4/e²)
Mínimo: (0, 0) Concavidad
Convexa:
Cóncava:
Punto inflexión: Asínotas
Horizontal y = 0 cuando x tiende a +inf

   Desde aquí puedes bajarte las gráficas de las siguientes funciones

f(x) = (x + 2) Ln(x) f(x) = Ln(Ln(x))

f(x) = x - Ln(1 + x)

Función Valor Absoluto Es continua en R pero no derivable en x = 0
Ejemplo 1 f(x) = \| x - 2 \| Continua en R (por ser función compuesta de funciones continuas) y no derivable en (2,0) Ejemplo 2 f(x) = \| x - 1 \| + 3 Continua en R (por ser función compuesta de funciones continuas) y no derivable en (1,3)
	Ejemplo 3 f(x) = \| x² - 1 \| Continua en R (por ser función compuesta de funciones continuas) y no derivable en (1,0) ni en (-1,0)

Función parte decimal de x D(x) = x - [ x ] (Mantisa de x) Si xZ => D(x) = 0 Si x(0, 1) => [ x ] = 0 => D(x) = x Si x(1, 2) => [ x ] = 1 => D(x) = x - 1 Si x(2, 3) => [ x ] = 2 => D(x) = x - 2 ................ Si x(-1, 0) => [ x ] = -1 => D(x) = x + 1 Si x(-2, -1) => [ x ] = -2 => D(x) = x + 2 Si x(-3, -1) => [ x ] = -3 => D(x) = x + 3 ................

Función signo de x f(x) = sg(x)	Ejemplo 1 f(x) = sg(x - 1) Ejemplo 2 f(x) = sg(x³ - x)

	Función f (x) = x⁴ - 2x² Dominio: R Signo: Negativa en Positiva en Cortes con los ejes: (0,0), Simetrías: Par (simétrica respecto OY)
Monotonía Creciente: (-1, 0)(1, +inf) Decreciente: (-inf, -1)(0, 1) Máximo: (0, 0); Mínimos: (1 -1), (-1, -1)	Concavidad Convexa: Cóncava: Punto de inflexión:

	Función f(x) = x(x - 3)² Dominio: R Signo: Negativa en (- inf, 0) Positiva en (0, +inf) Cortes con los ejes: (0, 0), (3, 0) Simetrías: No
Monotonía Creciente: (-inf, 1)(3, +inf) Decreciente: (1, 3) Máximo: (1, 4); Mínimo: (3, 0)	Concavidad Convexa: (2, +inf) Cóncava: (-inf, 2) Punto de inflexión: (2, 2)

	Función f(x) = 2x³ - 3x² Dominio: R Signo: Negativa en (- inf, 3/2) Positiva en (3/2, +inf) Cortes con los ejes: (0, 0), (3/2, 0) Simetrías: No
Monotonía Creciente: (-inf, 0)(1, +inf) Decreciente: (0, 1) Máximo: (0, 1); Mínimo: (1, -1)	Concavidad Convexa: (1/2, +inf) Cóncava: (-inf, 1/2) Punto de inflexión: (1/2, -1/2)

	Función f(x) = x³ - 3x² - 2 Dominio: R Signo: f(3)<0; f(4)>0 Cortes con los ejes: en x = 3,195 que pertence al intervalo (3, 4) Simetrías: No
Monotonía Creciente: (-inf, 0)(2, +inf) Decreciente: (0, 2) Máximo: (0, -2); Mínimo: (2, -6)	Concavidad Convexa: (1, +inf) Cóncava: (-inf, 1) Punto de inflexión: (1, -4)

	Función Dominio: R - {- 1/2} Corte con los ejes: (0, -1), (1, 0) Simetrías: No
Monotonía Creciente siempre Extremos: No	Concavidad Convexa: (-inf, -1/2) Cóncava: (-1/2, +inf) Punto de inflexión: No	Asínotas Horizontal: y = 1/2 Vertical: x = - 1/2

	Función Dominio: R - {0} Corte con los ejes: (-1, 0) Simetrías: No
Monotonía Siempre decreciente Extremos: No	Concavidad Convexa: (0, +inf) Cóncava: (-inf, 0) Punto de inflexión: No	Asínotas Horizontal: y = 1 Vertical: x = 0

	Función Dominio: R - {1} Corte con los ejes: (0,0) Simetrías: No
Monotonía Creciente en: (-inf,0)(2,+inf) Decreciente en: (0,2) Máximo en (0,0) Mínimo: (2,8)	Concavidad Convexa: (1, +inf) Cóncava: (-inf, 1) Punto de inflexión: No	Asínotas Oblicua: y = 2x + 2 Vertical: x = 1

	Función Dominio: R - {0} Corte con los ejes: No Simetrías: No
Monotonía Creciente: Decreciente Máximo: Mínimo:	Concavidad Convexa: (0, +inf) Cóncava: (-inf, 0) Punto de inflexión: No	Asínotas Oblicua: y = x - 1 Vertical: x = 0

	Función Dominio: R - {-1,1} Corte con los ejes: (0,0) Simetrías: origen f(-x) = - f(x)
Monotonía Creciente: Decreciente Máximo: Mínimo:	Concavidad Convexa: (-1,0)(1, +inf) Cóncava: (-inf, -1)(0,1) Punto de inflexión: (0,0)	Asínotas Oblicua: y = x Verticales: x = ± 1

	Función Dominio: R - {1} Corte con los ejes: (0,0) Simetrías: No
Monotonía Creciente: (-inf,1)(3,+inf) Decreciente: (1,3) Mínimo: (3, 27/4)	Concavidad Convexa: (0,1)(1, +inf) Cóncava: (-inf, -0) Punto de inflexión: (0,0); Tangente horizontal.	Asínotas Oblicua: y = x + 2 Verticales: x = 1 Corte asíntota oblicua: (2/3, 8/3)

	Función Dominio: R - {0} Corte con los ejes: Simetrías: Origen
Monotonía Creciente en todo su dominio.	Concavidad Convexa: (-inf,0) Cóncava: (0,-inf)	Asínotas Oblicua: y = x Verticales: x = 0

	Función Dominio: R - {-1,10} Corte con los ejes: (0, 0) Simetrías: Origen
Monotonía Decreciente en todo su dominio.	Concavidad Convexa: (-1,0)(1,+inf) Cóncava: (-inf,-1)(0,1) Punto inflrxión: (0,0)	Asínotas Horizontal y = 0 Verticales: x = ±1

	Función Dominio: R Corte con los ejes: (0, -1), (±2,0) Simetrías: Eje OY (Par)
Monotonía Creciente en (0,+inf) Decreciente en (-inf,0) Mínimo: (0,-1)	Concavidad Convexa: Cóncava: Punto inflexión:	Asínotas Horizontal y = 1

	Función Dominio: R Corte con los ejes: (0, 0) Simetrías: Origen
Monotonía Creciente:(-1,1) Decreciente: (-inf,-1)(1,+inf) Máximo: (1, 1/2) Mínimo: (-1, -1/2)	Concavidad Convexa: Cóncava: Punto inflexión: (0,0),	Asínotas Horizontal y = 0

	Función Dominio: R Corte con los ejes: (0, 1) Simetrías: Par
Monotonía Creciente:(-inf,0) Decreciente: (0,+inf)(1,+inf) Máximo: (0,1)	Concavidad Convexa: Cóncava: Punto inflexión: (0,0),	Asínotas Horizontal y = 0

	Función f(x) = (1 - x) e^x Dominio: R Corte con los ejes: (0,1), (1,0) Simetrías: No
Monotonía Creciente:(-inf,0) Decreciente: (0,+inf)(1,+inf) Máximo: (0,1)	Concavidad Convexa: (-inf, -1) Cóncava: (-1, +inf) Punto inflexión: (-1, 2/e)	Asínotas Horizontal y = 0 cuando x tiende a -inf

	Función Dominio: R Corte con los ejes: (0,0) Simetrías: Origen
Monotonía Creciente	Concavidad Convexa: (-inf, 0) Cóncava: (0, +inf) Punto inflexión: (0,0)	Asínotas Horizontal y = 1 cuando x tiende a inf; y = - 1 cuando x tiende a -inf

	Función f(x) = x e^x Dominio: R Corte con los ejes: (0,0) Simetrías: No
Monotonía Creciente: (-1, +inf) Decreciente: (-inf, -1) Mínimo: (-1, -1/e)	Concavidad Convexa: (-2, +inf) Cóncava: (-inf, -2) Punto inflexión: (-2, -2/e²)	Asínotas Horizontal y = 0 cuando x tiende a -inf

	Función f(x) = x² e^-x Dominio: R Corte con los ejes: (0,0) Simetrías: No
Monotonía Creciente: (0, 2) Decreciente: (-inf, 0)(2, +inf) Máximo: (2, 4/e²) Mínimo: (0, 0)	Concavidad Convexa: Cóncava: Punto inflexión:	Asínotas Horizontal y = 0 cuando x tiende a +inf

Desde aquí puedes bajarte las gráficas de las siguientes funciones
	f(x) = (x + 2) Ln(x)	f(x) = Ln(Ln(x))
f(x) = x - Ln(1 + x)