Reseñas Matemáticas
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos águlos

(En lo que sigue indicaremos en negrita las magnitudes vectoriales)
Sea el sistema ortonormal {O, u1, u2} y en él la circunferencia goniométrica de centro O.
Consideramos los vectores OA y OB de coordenadas respecto a dicho sistema las indicadas en la figura
OA(cos(a), sen(a)) y OB(cos(b), sen(b)) respectivamente.
Sabemos que el producto escalar de dichos vectores verifica

OA.OB = |OA|.|OB|.cos(a - b) = cos(a - b)     (#1)

siendo |OA| y |OB| los módulos de los vectores OA y OB respectivamente y |OA| = |OB| = 1 (pues la circunferencia es goniométrica).

Por otra parte, los vectores OA y OB pueden expresarse respecto a la base ortonormal

OA = cos(a) u1 + sen(a) u2
OB = cos(b) u1 + sen(b) u2

y multiplicando escalarmente resulta:

OA.OB = (cos(a) u1 + sen(a) u2)(cos(b) u1 + sen(b) u2) =
= cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)     (#2)
teniendo en cuenta que por ser un sistema ortonormal.

Identificando las expresiones (#1) y (#2) resulta

    cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)   

Corolarios   
Algunas consecuencias, interesantes, que se pueden deducir de dicha expresión
Si a = 90 resulta:
 cos(90 - b) =
= cos(90)cos(b) + sen(90)sen(b) =
=  sen(b) 
Es decir, el seno y coseno de ángulos complementarios son iguales
Si a = 0
 cos (-b) = cos(0 - b) =
= cos(0)cos(b) + sen(0)sen(-b) =
=  cos(b) 
Es decir los cosenos de águlos iguales y de distinto sentido son iguales
 sen(-b) = cos(90 - (-b)) = cos(b - (-90))
= cos(b)cos(-90) + sen(b)sen(-90) =  - sen(b) 
Los senos de ángulos iguales y distinto sentido son opuestos
Como seno y coseno de ángulos complementatios son iguales:
 sen(a + b) = cos[90 - (a + b)] =
= cos[(90 - a) - b] =
= cos(90 - a)cos(b) + sen(90 - a)sen(b) =
 = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b) 
 cos(a + b) = cos(a - (-b)) =
cos(a)cos(-b) + sen(a)sen(-b) =
 = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
 sen(a - b) = cos(90 - (a - b)) =
cos((90 - a) + b) =
= cos(90 - a)cos(b) - sen(90 - a)sen(b) =
 = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b) 
Supongamos que en la demostración inicial, no fuese la circunferencia goniométrica y además que |OA| = p y |OB| = q fuesen distintos
Razonando de forma análoga a la anterior resulta:
OA.OB = |OA|.|OB|.cos(a - b) =
= p q cos(a - b)
Por otra parte
OA = p cos(a) u1 + p sen(a) u2
OB = q cos(b) u1 + q sen(b) u2
y efectuando el producto escalar
OA.OB = pq [cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)]
Identificando ambas expresiones del producto escalar resulta la igualdad obtenida anteriormente.
Resumen
A partir de estas igualdades podemos obtener la expresión de la tangente de una suma y diferencia
habiéndose obtenido la última igualdad al dividir numerador y denominador por cos(a)cos(b).

Una demostración del seno de la diferencia de dos ángulos a partir del producto vectorial.
Si el ángulo formado por dichos vectores es a - b resulta
El módulo de dicho vector es
OA × OB | = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a)
que es el área de la superficie del paralelogramo determinado por ambos vectores.
Por atra parte,
OA × OB | = | OA | | OA | sen(a - b) = sen(a - b)
Identificando ambas igualdades obtenemos el resultado buscado.
(A lo largo de toda la demostración se ha considerado, naturalmente, un sistema de referencia ortonormal y la construcción sobre la circunferencia goniométrica).
Producto Vectorial   
Se define el producto vectorial de los vectores OA y OB como un nuevo vector, perpendicular a ambos, por
Puede probarse que
OA × OB | = |OA ||OB | sen(δ)
siendo δ el ángulo formado por los vectores.
Tiene una importante propiedad geométrica. El módulo de dicho vector producto vectorial coincide con el valor del área de la superficie del paralelogramo determinado por ambos vectores. (En la figura en amarillo).


Una demostración del seno de la suma de dos ángulos a partir de las áreas de los triágulos.
Evidentemente
Área(TABC) = Área(TAMC) + Área(TMBC)
Por otra parte
Área(TABC) = 1/2 a b sen(β + δ)
Área(TAMC) = 1/2 b h c sen(β)
Área(TMBC) = 1/2 a h c sen(δ)

De donde
1/2 a b sen(β + δ) = 1/2 bh csen(β) + 1/2 ah csen(δ)
Dividiendo todos los miembros por 1/2 ab

sen(β + δ) = (h c/ a) sen(β) + (h c/ b) sen(δ)

Como en MBC es (h c/ a) = cos(δ) y en AMC (h c/ b) = cos(β) sustituyendo en la igualdad anterior obtenemos

sen(β + δ) = sen(β)cos(δ) + sen(δ)cos(β)

Una demostración "clásica" del seno de la suma de dos ángulos.

Consideramos los ángulos a y b y la suma de ambos a + b.
Tomamos un punto C, cualquiera, sobre r 3 y trazamos una perpendicular a r 1 para determinar el punto B. También por C trazamos una perpendicular a r 2 y determinamos D. Desde ese punto D trazamos una perpendicular a r 1 y determinamos E y otra a CB para obtener M.
Como los triágulos AED y CMD son semejantes (pues sus lados son perpendiculares) resulta que áng(DCM) = a
En el triángulo ABC tenemos
(pues MB = DE)
Por otra parte
en el triángulo AED es: DE = AD sen(a)
en el triángulo CMD es: MC = CD cos(a)
y llevando estas expresiones a (#1)

En el triángulo ADC tenemos
AD = AC cos(b)    y    CD = AC sen(b)
y sustituyendo en (#2) y simplificando obtenemos finalmente
sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a) sen(b)


Propiedad El ángulo inscrito en una circunferencia vale la mitad del arco central correspondiente
A partir de una circunferencia cuyo radio consideramos como unidad inscribimos el triángulo ABC
A partir del triángulo AMO resulta
Análogamente
a = 2 r sen(a)
b = 2 r sen(b)
c = AH + HB =
= b cos(a) + a cos(b)
Sustituyendo:
c = 2 r sen(δ) =
= 2 r sen(180 - (a + b) =
= 2 r sen(a + b) =
= 2rsen(b)cos(a) + 2rsen(a)cos(b)

y simplificando resulta el teorema.