Teorema de Carnot
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 Sea O el circuncentro del triángulo y X, Y y Z los puntos medios de los
lados a, b y c respectivamente, R y r los radios de las circunferencias
circunscrita e inscrita respectivamente.
El teorema dice que
OX + OY + OZ = R + r
siendo OX, OY y OZ positivos si el circuncentro esta en el mismo
semiplano respecto al lado correspondiente que el vértice opuesto, y
negativo en caso contrario.
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Utilizamos 
Hagamos Aplicando el Teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros cíclicos OYAZ, tenemos:
(c/2) y + (b/2) z = (a/2) R
Igualmente para OZBX y OXCY,
 cy + bz = aR (#1)
az + cx = bR (#2)
bx + ay = cR (#3) S = Sa + Sb + Sc ax + by + cz = 2S (#4)
Sumando (#1), (#2), (#3) y (#4), resulta
x (a + b + c) + y (a + b + c) + z (a + b + c) = R (a + b + c) + 2S
(x + y + z) 2s = R 2s + 2S
(x + y + z) s = Rs + rs x + y + z = R + r OX + OY + OZ = R + r
2) El triángulo es obtusángulo (circuncentro exterior) 
Aplicando el Teorema de Ptolomeo a los cuadriláteros cíclicos OZYA, tenemos:
(a/2)R + (b/2)z = (c/2)y
Igualmente para OZXB y OXCY,
aR + bz = cy aR = cy - bz (#1)
az + bR = cx
bR = cx - az (#2)
bx + ay = cR cR = bx + ay (#3)
S = Sa + Sb - Sc ax + by - cz = 2S (#4)
Sumando #1, #2, #3 y #4,
x (a + b + c) + y (a + b + c) - z(a + b + c) = R (a + b + c) + 2S
(x + y - z) 2s = R 2s + 2S (x + y - z) s = R s + r s x + y - z = R + r OX + OY + OZ = R + r
3) Triángulo rectángulo (circuncentro en la hipotenusa)
Ignacio Larrosa
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Nota El teorema de Ptolomeo dice: Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales