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Plimpton 322.

El teorema de Pitágoras es, sin duda, el teorema más popular de toda la matemática. Ya se conocía desde tiempo de los babilonios y aparece por primera vez impreso en la tablilla (aprox. 1900-1600 a.C.) denominada Plimpton 322 (por tener ese número de la colección del mismo nombre) que se encuentra en la Columbia University Library (N.Y.). En ella, aparecen cuatro columnas de números entre las que se desprende un aceptable dominio de las ternas pitagóricas.
La tabla fué descifrada por Neugebauer y Sachs (Mathematical Cuneiform Texts -1945-) y ahí están las 6 primeras filas

Los números de la columna primera, tercera y cuarta (con fondo amarillo) son ternas pitagóricas. Parece que los babilonios llegaron a calcular estos valores según un elaborado procedimiento algebraico, hecho que no es en absoluto descartable. Pastor y Babini, refiriéndose a los pitagóricos, dicen: ´´[...aunque en el estudio de los tripletes no lograron la generalidad de los babilonios]´´
A partir de la expresión

a² + b² = c²

dividiendo ambos miembros por b² resulta:

y haciendo el cambio de variable

tenemos u² + 1 = v² expresión equivalente a

(v - u)(v + u) = 1

Haciendo el cambio de variable

obtenemos

De esta forma podemos obtener ternas pitagóricas sin más que dar valores a x e y

b	a	c	(c/b)²	δ	x	y
120	119	169	1,9834028	45º 14´ 23.038´´	12	5
3456	3367	4825	1,9491586	45º 44´ 50.389´´	64	27
4800	4601	6649	1,9188021	46º 12´ 45.553´´	75	32
13500	12709	18541	1,8862479	46º 43´ 43.28´´	125	54
72	65	97	1,8150077	47º 55´ 29.921´´	9	4
360	319	481	1,7851929	47º 39´ 53.962´´	20	9
2700	2291	3541	1,7199837	---	---	---
960	799	1249	1,6927094	---	---	---
600	481	769	1,6426694	---	---	---
6480	4961	8161	1,5861226	---	---	---
60	45	75	1,562500	---	---	---
2400	1679	2929	1,4894168	---	---	---
240	161	289	1,4500174	---	---	---
2700	1771	3229	1,4302388	56º 44´ 17.133´´	50	27
90	56	106	1,3871605	58º 6´ 33.15´´	9	5

Además de las tres columnas con las ternas pitagóricas, aparece una cuarta columna que es la relación, al cuadrado, que existe entre la hipotenusa y uno de los catetos.

De esta forma podían conocer los ángulos de los triángulos rectágulos considerados. Podemos observar que la tabla parte de un ángulo δ de aproximadamente 45º y va aumentando hasta aproximadamente 60º. Sobre fondo gris están los valores de δ y los de x e y para calcular los lados del triángulo (En la tabla sólo aparecen los valores sobre fondo amarillo)

No es probable que los babilonios conocieran estas relaciones trigonométricas, pero pudieron llegar a dicho resultado a partir de los valores de x e y teniendo en cuenta que

Nota Los valores que aparecen en la tabla marcados por --- quedan a cargo del lector interesado

Plimpton 322