G.M. Historias
  Polígonos Estrellados.  
Si al dividir una circunferencia en partes iguales unimos los puntos de división de dos en dos, de tres en tres, etc. y al cerrarse la poligonal hemos recorrido la circunferencia un número entero de veces, obtenemos un polígono regular estrellado.
Puede probarse que para obtener un polígono regular estrellado de n lados (la circunferencia estará dividida en n partes iguales) uniendo las divisiones de a en a, es necesario (y suficiente) que a y n sean primos.
Como unir divisiones de a en a es igual que dividirlas de n - a en n - a (es decir de a en a en sentido contrario), se podrán construir polígonos estrellados considerando los números menores que n/2, que sean primos con n.

Pentágono regular estrellado
El número primo con 5 menor que 5/2 es 2; podemos construir el pentágono estrellado uniendo las divisiones de dos en dos. Obtenemos de esta forma el más popular de los polígonos estrellados y, posiblemente, el emblema de la escuela pitagórica. En él el número áureo aparece por doquier.
Pentagrama
No existen polígonos estrellados de 6 lados, ya que no existe ningún número primo con 6 menor que 6/2.

Heptágonos regulares estrellados
Existen dos números primos con 7 menores que 7/2, el 2 y el 3. Podemos, por tanto, construir dos heptágonos regulares estrellados uniendo las divisiones de 2 en 2 y otro de 3 en 3.

Siete2 Siete3

Octógono regular estrellado
3 es el único número primo con 8 menor que 8/2. Uniendo las divisiones de 3 en 3 obtenemos el octógono regular estrellado.

ocho3

Eneágonos regulares estrellados
2 y 4 son primos con 9 menores que 9/2. Podemos construir dos polígonos regulares estrellados de 9 lados uniendo las divisiones de 2 en 2 y de 4 en 4.

nueve2 nueve4

Decágono regular estrellado
Por último, uniendo de 3 en 3 obtenemos el decágono regular estrellado. En él también "aparece" el número áureo.

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  El Pentagrama y el Número Áureo  
El lema de la Escuela Pitagórica fue todo es número y su emblema el pentagrama o pentágono regular estrellado. En el pentágono estrellado figura el número áureo infinidad de veces.
Veamos qué relación existe entre el pentágono regular y el pentágono regular estrellado.

Si consideramos el lado del pentágono la unidad, basta aplicar el teorema del coseno al triángulo ABC y resulta que AC es igual al número áureo.

El teorema del coseno afirma que en todo triágulo un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del águlo comprendido.
En nuestro caso, aplicando dicho teorema al triángulo ABC, tendremos:

AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 AB. AC. cos (108)
y como AB = BC = 1, efectuando operaciones resulta:
AC 2 = 2 - 2 cos (108)
Extrayendo la raiz cuadrada:
AC = 1,6180340...
Considerando el lado del pentágono regular la unidad, (AG = 1), pueden obtenerse de forma inmediata las siguientes expresiones:
Fi

¿ Qué pudo hacer que los pitagóricos sintieran tanta admiración por el número áureo ?.
Casi con toda seguridad, para la escuela pitagórica la consideración del irracional 5 1/2, de cuya existencia tuvieron conciencia antes que de 2 1/2, tuvo que causar una profunda reflexión en las teorías de la secta.

Si tienes alguna duda de las relaciones del número áureo con el pentágono estrellado ... ¡mira!, y así hasta el infinito. Siempre que encuentres un pentágono regular podrás hacer lo mismo.


Dado un segmento AB, se dice que está dividido en media y extrema razón, cuando: "[...] si hay de la parte pequeña a la parte grande la misma relación que de la grande al todo" (Vitrubio). A partir del Renacimiento recibió el nombre de Divina Proporción.
Normas de encuadre
De Aetna
La Proporción Áurea fascinó como ideal de belleza a los griegos, a los renacentistas y perdura en nuestros días. Los pintores y escultores del Renacimiento la tuvieron muy en cuenta ... y también los impresores. En el gráfico de la izquierda se puede apreciar el diseño de la caja y los márgenes de un libro según la normas de la Divina Proporción. En el de la derecha aparece la reproducción de un incunable impreso en Venecia (1495), según dichas normas. Se trata del libro de Pietro Bembo De Aetna (Sobre el Etna). Exquisita tipografía romana, calidad de papel y tinta, proporciones divinas. Una joya.
Potencias del Número Áureo
Potencias de fi
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Más sobre polígonos estrellados
Relación entre los lados del decágono regular convexo y el estrellado
Sean AB y AD los lados de los polígonos regular convexo y el estrellado respectivamente. Los ángulos ABG y AMB son iguales pues el primero es un ´ngulo inscrito en la circunferencia que vale (la mitad del arco que abarca) 72º y el segundo es un a´ngulo interior cuyo valor es
Igualmente los ángulos FAD y AOB son iguales y valen 36º; por otra parte los triángulos DAO y AOM son semejantes por lo que
Como AM = AB y DO = AO = r resulta
De la primera igualdad tenemos
r 2 = AB × AD
es decir, el radio de la circunferencia circunscrita es medio proporcional entre ambos lados.
Conocido el radio podemos hallar ambos lados, para lo cual dividimos el radio en media y extrema razón, es decir en la proporción áurea.
NOTA  Podemos construir gráficamente, muy facilmente, dado el radio de la cincunferencia circunscrita, ambos lados. Trazamos una circunferencia que tenga NM = radio como diámetro. Por el extremo M levantamos una perpendicular MT = NM y unimos T con el centro de la circunferencia determiando sobre ella los puntos P y Q. Entonces TP y TQ son los lados de cada uno de los polígonos.
En efecto, pues NM 2 = TM 2 = TP × TQ


  Polígonos estrellados