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(#043) CIFRAS GIRADAS Si se escriben las diez cifras de nuestro sistema decimal sobre una hoja de papel y se gira ésta 180 grados en su plano, se observa que el 0 y el 8 tienen el mismo aspecto, que el 9 se convierte en el 6 y el 6 en el 9 y que las restantes cifras carecen de significado al efectuar el giro.
¿Cuántos números hay entre el 1 y el 10ⁿ que se lean lo mismo en su posición normal que en la girada?
NOTA: Los números de la forma 080 no son válidos.

Solución
Primero escribo unos cuantos casos para encontrar la regla de formación

Con una cifra:	6	8	9
Con dos cifras:	69	88	96
Con tres cifras:	609 689	808 888	906 986
Con cuatro cifras:	6009 6699 6889 6969	8008 8698 8888 8968	9006 9696 9886 9966

Con cinco cifras: los que se forman con cuatro añadiendo como cifra central el 0 ó el 8

Observo lo siguiente
(1) Si el número de cifras es par, n = 2 p, lo importante son las p primeras cifras. La primera de ellas puede ser 6, 8 ó 9 y las p - 1 restantes 0, 6, 8 ó 9. El resto del número (las p últimas cifras) vienen obligadas por la regla de formación (simetría 6 -- 9,8 -- 8 y 0 -- 0.
Por lo tanto con un número n par de cifras hay 3.4^{p - 1} números o, como n = 2 p, hay 3.2^{n - 2}.
Si n = 2 ---- 3 números;
si n = 4 ---- 12 números;
lo que coincide con el estudio para el caso inicial

(2) Si el número es impar, n = 2p + 1, la cifra central sólo puede ser 0 o 8, ya que son invariantes por el giro.
Por lo tanto con un número impar de cifras tendríamos el doble que con una cifra menos (n - 1), 3.2^{(n - 1) - 2}.2, es decir también 3.2^{n - 2}.
Si n = 3 ---- 6 números;
si n = 5 ---- 24 números;
lo que coincide con el estudio para el caso inicial.

(3) En el caso de una cifra hay que considerarlo aparte ya que es impar pero no procede ningún par; para los restantes casos, n>=2, hay 3.2^{n - 2} números de n cifras que cumplen la condición.

¿Y entre 1 y 10ⁿ?
Estos números tienen como máximo n cifras; el total será el resultado de la siguiente suma:

es decir, 3.2^{n - 1}

:-) (la sonrisa es nuestra)

(#43) Cifras giradas