Solución
El numero estará comprendido entre 100 y 999, pero debido a la inclusiónn de las numeraciones de base 7 y 9 debemos dividirlo en tres intervalos:
PRIMER INTERVALO [100,342]: En este intervalo tanto los números de base 7 como los de base 9 tienen tres cifras.
SEGUNDO INTERVALO [343, 728]: Aquí los números en base 9 tienen tres cifras, pero los de base 7 ya tienen cuatro. Nuestro número no puede estar en este intervalo.
TERCER INTERVALO [729,999]: Los números de ambas bases tienen cuatro cifras. Es también un intervalo válido.
PRIMER INTERVALO:
El intervalo en base 7 es [202,606]
El intervalo en base 9 es [121,420]
La siguiente ecuacisn (diofántica) expresa la condición del problema:
abc(base7) = cba(base9)
49a + 7b + c = 81c + 9b + a
Simplificando:
48a - 2b - 80c = 0
Unos cuantos apuntes, algunos más útiles que otros:
- Ninguna cifra puede ser mayor que 6 (la mas alta del sistema de numeracisn en base 7).
- La cifra "c" no puede ser mayor que 4 (el límite superior en base 9 era 420).
- La cifra "a" no puede ser menor que 2 (el límite inferior en base 7 era 420).
- La cifra "c" ha de ser menor que "a" (de lo contrario la ecuación jamás daría 0).
- 48 y 80, coeficientes de "a" y "c", con 16 como máximo común divisor, tienen una relación 3/5, lo cual significa que si damos a "b" el valor 0 ya tenemos una solución: a = 5, b = 0, c = 3
503(base7) = 305(base9) = 248
Cualquier otra diferencia entre 80c y 48a va a ser múltiplo de 16, y como esa diferencia no podrá ser atenuada por el término 2b (que puede ser 12 como máximo), la solución dada es única en este intervalo.
TERCER INTERVALO:
El intervalo en base 7 es [2061,2625]
El intervalo en base 9 es [1000,1330]
La siguiente ecuacisn (diofántica) expresa otra vez la condición del problema:
abcd(base7) = dcba(base9)
343a + 49b + 7c + d = 729d + 81c + 9b + a
Simplificando:
342a + 40b - 74c - 728d = 0
Igual que en el intervalo anterior, razonemos un poco:
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