(#97) MÁS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Sea un triángulo ABC, rectángulo en A y un punto K de la hipotenusa BC. La perpendicular en K a BC corta a las rectas AB y AC en M y N.
(a) Desmostrar que KM.KN = KB.KC
(b) Sean P y P' los puntos de la recta KM, tales que KP 2 = KP' 2 = KM.KN
Demostrar que P y P' pertenecen a la circunferencia de diámetro BC.

mano_dSolución
a) Los triángulos NKC y MKB son rectángulos y semejantes ya que los ángulos respectivos en el vértice K son rectos y el ángulo agudo
CNK = ANM = 90º - AMN = 90º - KMB = KMB

Tenemos pues
(*)

b) Supongamos KP 2 = KP' 2 = KM.KN   (**)
La primera parte de la igualdad nos dice que KP = KP' y, puesto que P y P' están sobre la misma recta que pasa por K, habrá de ser P' el simétrico de P respecto de K. K será el punto medio de PP' y BC la mediatriz de PP'
Sea O el punto medio de BC. Tracemos la circunferencia con centro en O pasando por P y P'.
Llamemos C' al punto de esta circunferencia diametralmente opuesto a B. Se trata de demostrar que C' = C.
En efecto, la potencia (en valor absoluto) de K respecto de esa circunferencia es;
KP.KP' =   por (**)   KM.KN   por (*)   = KB.KC

y, por otra parte, esa potencia también es KP.KP' = KB.KC' por lo que C = C'


mano_dSolución enviada por Antonio Menguiano
a) La primera parte es esencialmente la misma.
b) Los puntos P y P' son simétricos con respecto al punto K por definición, ya que KP 2 = KP' 2, por lo cual puede trazarse una circunferencia de centro K que pase por los puntos P y P' y corta al lado CB en el punto Q; este punto Q con M y N' forman un triángulo rectángulo en Q, ya que el ángulo Q es inscrito y abarca 180º.
Aplicando el teorema de la altura al triángulo MN'Q tendremos KQ 2 = KM.KN', y como KQ = KP = KP' por pertenecer a la misma circunferencia, podemos, finalmente, escribir que:
KP 2 = KP' 2 = KM.KN' = KM.KN   c.q.d.

De la demostración del apartado a) se deduce que los puntos P y P' pertenecen a las dos circunferencias; en efecto:
KP 2 = MK.NK = KB. CK,
lo cual demuestra que el triángulo es rectángulo en P y, en consecuencia, hace pertenecer los puntos P y P' a la circunferencia de diámetro BC.


 
  (#97) Más sobre triángulos rectángulos