(#99) Circunferencias y lugares geométricos.
En matemática un lugar geométrico es un conjunto de puntos que verifica una determinada propiedad.
Una circunferencia con centro en el punto (2,0) se corta con otra, cuyo centro está en (0,2), en un punto de la recta de ecuación x = 3. Determinar el lugar geométrico que describe el otro punto de intersección de ambas circunferencias.

Por riguroso orden de llegada

prb09901.gif
mano_dSolución de Francisco Molina
A la vista del dibujo, la solución parece evidente. Los radios BP y BQ son iguales, y también lo son AP y AQ. También son iguales lo ángulos BAQ y BAP. Luego los dos triángulos del dibujo son iguales y el punto Q es simétrico del punto P respecto de la recta AB.
Por tanto el lugar geométrico será la recta simétrica de x = 3 respecto de la recta AB: la recta y = -1.

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Ambos puntos de corte son simétricos respecto a la recta que une los centros. Por tanto el lugar geométrico pedido es la recta simétrica de la recta vertical x = 3 respecto a la recta y = -x + 2, que es la que une los centros. Como ésta forma un ángulo de 45º con la primera, la simétrica será horizontal y pasa por el punto (3, -1) intersección de las anteriores.
Luego se trata de la recta y = -1.

mano_dSolución de Francisco de León Sotelo
Si r 1 es el radio de la circunferencia de centro A(2, 0) y r 2 el radio de la circunferencia de centro B(0, 2) el punto de corte de las dos circunferencias será de la forma C(3, b) siendo b un parámetro. Dicho punto pertenece a la recta x = 3 (por hipótesis) y está en el eje radical de ambas circunferencias que se obtiene restando las ecuaciones de las mismas.
  • (3 - 2)2 + (b - 0)2 = r 12 => r 12 = b 2 + 1
  • (3 - 0)2 + (b - 2)2 = r 22 => r 22 = b 2 - 4b + 13
por lo que podemos escribir las ecuaciones de las circunferencias como
  • (x - 2)2 + y2 = b 2 + 1
  • x2 + (y - 2)2 = b 2 - 4b + 13
y restando ambas expresiones resulta la ecuación del eje radical
Eje radical   4x - 4y = 12 - 4b
Hallando el punto simétrico del C(3, b) respecto de la linea que une los centros de ambas circunferencias tendremos resuelto el problema. Para ello una forma cómoda es calcular el punto de intersección del eje radical con la recta que une los centros y ayudándonos de la fórmula del punto medio de un segmento obtendremos el otro extremo.
El otro extremo del segmento G(xg, yg) lo obtenemos facilmente a partir de
de donde xg = 2 - b e yg = -1 que son las ecuaciones paramétricas del lugar geométrico buscado. (La recta y = -1, paralela al eje de abscisas, sería la ecuación del lugar en explícitas).

prb09903.gif Comentario de la G.M.
Si deseas ver desplazarse el punto B a través de la recta y = - 1 cuando A se desplaza por la recta x = 3 puedes bajarte el fichero prb099.zip (menos de 1 K) y ejecutarlo en CABRITM



 
  (#99) Circunferencias y Lugares Geométricos