(#109) Trapecio
Sea el trapecio isósceles ABCD (AB || CD) cuyas diagonales AC y BD se cortan en el punto O de modo que el ángulo AOB vale 60 grados. Se toman los respectivos puntos medios de OA, OD y BC. Probar que esos puntos medios son vértices de un triángulo equilátero.

mano_dSolución
El triángulo OAB es equilátero y otro tanto ocurre con el OCD, dado que el trapecio es isósceles y el ángulo AOB = COD = 60º
Llamemos P al punto medio de OA, Q al de OD y R al de BC.
Entonces el segmento BP es una altura del triángulo AOB, por lo que el ángulo CPB es recto.
Igualmente, QC es una altura del triángulo OCD, por lo que el ángulo CQB es igualmente recto.
Entonces los puntos P y Q se hallan en una circunferencia de diámetro BC, y cuyo centro es pues R.
Por tanto RB = RP = RQ = BC/2. Pero además PQ es la paralela media del triángulo AOD, paralela al lado AD. Por tanto PQ = AD/2 = BD/2, con lo que resulta RP = RQ = PQ =BC/2, y por tanto el triángulo PQR es equilátero.
Saludos

 Solución remitida por -jcb-  
Es claro que el triángulo OCD es equilátero; luego CK y BE son respectivamente perpendiculares a las diagonales BD y AC, pues K y E son puntos medios de lados respectivos de dos triángulos equiláteros.
Entonces el triángulo CKB es rectángulo de hipotenusa BC, por lo que KF = (1/2)BC. El triángulo CEB también es rectángulo y, por igual razón, EF es la mitad de BC. Y como KE es paralela media de OAD, vale (1/2) de AD (=BC).

 
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