(#119) EL MENOR NÚMERO
Hallar el menor número N = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 tal que a, b, c, d sean enteros positivos distintos entre sí y distintos de 0 y con a + b + c + d = 96.

mano_dSolución de Pablo Sussi
Llamamos a los números a, b = a + x, c = a + y d = 96 - a - (a + x) - (a + y) y resulta
a 2 + (a + x) 2 = (a + y) 2 +(96-3a-x-y) 2
Desarrollamos
a 2 + 2ay + y 2 + 9216 - 576a - 192x - 192y + y 2 + 2xy + 6ax + 6ay + x 2 + 9a 2 =
= a 2 + a 2 + 2ax + x 2
trasponiendo términos
8a 2 - 576a + 4ax + 8ay + 9216 - 192x - 192y + 2y 2 + 2xy = 0
8a 2 + a(4x + 8y - 576) + 9216 - 192(x + y) + 2y(x+y)=0
8a 2 + (4x+8y-576)*a + 9216 - (x + y)*(2y - 192) = 0
Nos queda una ecuación cuadrática en función de a; damos valores enteros para x y, ninguno de los cuales puede ser mayor a 46, ya que su cuadrado no permitiría que se alcanzase las primeras igualdades. Sólo se obtienen descartando las repeticiones de números, los siguientes 
 
 a    b    c     d      N
________________________________
 9   37   15    35      1450
12   34   20    30      1300
23   27   33    13      1258
 3   41   13    39      1690
26   27   37     6      1405
28   26   38     4      1460
24   28   36     8      1360
10   35   22    29      1325
 6   38   18    34      1480
25   30   39     2      1525
18   31   33    14      1285
21   33   39     3      1530
La solución es 23 2 + 27 2 = 33 2 + 13 2 = 529 + 729 = 1089 + 169 =1258
Saludos
Pablo Sussi

mano_dSolución de Carlos Álvarez
De los cuatro números podemos imponer, sin limitación alguna, que uno sea el mayor de todos, con lo que el otro que está en su mismo miembro ha de ser el menor de todos. Sea, por ejemplo: a > c > d > b   (Res.1)
Como el promedio de los cuatro número es 24 por la segunda condición del enunciado, imponemos el siguiente cambio de variable para trabajar con números más pequeños:
a = 24 + A; b = 24 - B; c = 24 + C; d = 24 - D    (Res.2)
siendo A y B enteros positivos, con A > C y B > D,    (Res.3)
Las condiciones del enunciado pasan a ser:
A 2 + B 2 + 48(A - B) = C 2 + D 2 + 48(C - D)    (Res.4);
C - D = B - A = k (número entero)    (Res.5)
Sustituyendo (Res. 5) en (Res. 4) nos queda:
C(C - k) = A(A + k) - 48 k    (Res.6)
o bien:
(Res.7)
Para cada valor de k no nulo hemos de ver qué valores de A hacen entero (Res.7) (aunque a mí me ha resultado más sencillo sustituyendo en (Res.6) directamente). En particular para k = 2, A = 9 se obtiene C = 3, B = 11, D = 1 que dan el menor valor posible de N:
a = 33, b = 13, c = 27, d = 23 ==> N = 1258
NOTA 1: Hay, que yo sepa, al menos 11 soluciones más.dadas.
NOTA 2: El valor de k ha de ser no nulo porque, en caso contrario, a = b contradice el enunciado.
NOTA 3: Hay restricciones para A, C y k que limitan el proceso hasta un punto final:
  • Para valores positivos de k: 0 < A < 24 - k, por ser 0 < B < 24, B = A + k.
  • Como el valor mayor posible de A es 23 - k, sustituido en (Res.7) obliga a k < 8 para que el discriminante sea positivo y - 22 < C < 23. Esto es, sólo hay que probar para valores de k comprendidos entre el 1 y el 7, ambos inclusive. Además los valores posibles de A quedan también limitados por C < A.

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      (#114) El menor número