(#125) Cuadrilátero
 En el cuadrilátero ABCD se trzan BF y AE paralelas respectivamente a AD y BC. Demostrar que EF es paralela a DC.

mano_dSolución de Carlos E. Muñico
1) Los triángulos BOF y AOD son semejantes:
    ang(BOF)= ang(AOD) (opuestos por el vértice)
    ang(OAD)= ang(OFB) (alternos internos) ; ang(ADO)= ang(OBF) (alternos internos)
2) Los triángulos BOC y AOE son semejantes:
    ang(BOC)= ang(AOE) (opuestos por el vértice)
    ang(BCO)= ang(OAE) (alternos internos) ; ang(OEA)= ang(OBC) (alternos internos)
De la semejanza 1) => OB / OD = OF / OA;
De la semejanza 2) => OE / OB = OA / OC
OB / OD = OF / OA => OB*OA =OD*OF
OE / OB = OA / OC => OB*OA =OC*OE

OD * OF = OC * OE => OD/OE = OC/OF => Los triángulos OEF , OCD son semejantes y los lados EF y CD son paralelos.
Un saludo : Carlos E. Muñico


mano_dSolución de Martín López
Los triángulos OBF y ODA son semejantes pues los ángulos en O son iguales por opuestos por el vértice y ángulo(OFB) = ángulo(OAD) y ángulo(OBF) = ángulo(ODA) por alternos internos en ambos casos.
Por razones análogas son semejantes los triángulos OAE y OCD.
Se verifican las siguientes proporciones
En particular
y sustituyendo en (1)
lo que implica que los triángulos FOE y COD son semejantes pues tienen un ángulo común y los lados que lo forman proporcionales. De aquí se deduce que EF y DC son paralelos.

mano_dSolución de Calos Álvarez
Las rectas AE y BC son paralelas. También lo son entre sí, las rectas BF y AD. Aplicamos por partida doble el teorema de Thales:

Es decir, los triángulos OEF y ODC tienen dos pares de lados proporcionales y los respectivos ángulos comprendidos son congruentes, por lo que son triángulos semejantes.
En consecuencia EF y CD son paralelos pues, por semejanza de triángulos
ángulo(OEF) = ángulo(ODC)
Esto es equivalente a decir que las rectas EF y CD forman el mismo ángulo con la recta BD. Luego son paralelas.
C.q.d.

 
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