(#134) Dos circunferencias
Dos circunferencias se intersecan en A y B. Por el punto A se han trazado los segmentos AC y AD, cada uno de los cuales, siendo cuerda de una circunferencia, es tangente a la segunda circunferencia. Demostrar que AC 2 × BD = AD 2 × BC.

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Llamemos C1 a la circunferencia de la izquierda, con radio r1, y C2 a la de la derecha con radio r2. Completemos la figura con los puntos E y F, simétricos de C y D respecto a la línea que une los centros, de manera que BF y BE sean tangentes respectivamente a C1 y C2 en B.
El ángulo ACB inscrito en C1 es igual que el ABF, ex-inscrito en la misma circunferencia y abarcando el mismo arco. Por la misma razón, pero respecto de C2, es igual que el ángulo ADF. Llamémoslo a Similarmente llamemos b al valor de los ángulos iguales ADB = ABE = ACE.

Aplicando el teorema del seno a los triángulos ABC y ABD, tenemos:

Por otra parte, aplicando el teorema del seno a los triángulos ACE y ADF
Aplicando ahora el mismo teorema a los triángulos ABC y ABD,
De esta última, y teniendo en cuenta (#1) tendremos

mano_dSolución de Carlos E. Muñico
Una solución métrica
Prolongamos el segmento BD hasta E y el segmento CB hasta F. Los triangulos EAD y CAF son iguales.
Los ángulos AFCy ADE son iguales (inscritos que determinan el mismo arco AB en O´)
Los ángulos ACF y AED son iguales (inscritos que determinan el mismo arco AB en O)
Por tanto los dos triángulos tienen los 3 ángulos iguales, además los lados AE y AC son iguales para lo cual veremos que la recta determinada por AO es la bisectriz del angulo formado por ambas cuerdas.
Tomamos un punto X en la tangente AD, el ángulo OAE = 90º - EAX
Por otra parte el ángulo OAC = 90º - CAD, ahora bien los ángulos EAX y CAD son iguales puesto que:
EAX = ABE (seminscrito e inscrito en O, detreminando el arco AE); además el ángulo CAD es seminscrito en O´ que abarca el arco ABD; como el ángulo ABD abarca el arco AFD entre ambos completan la circunferencia y será CAD + ABD = 180º; como E, B, D están alineados ABE + ABD = 180º y entonces CAD = ABE = EAX;
De aquí 90º - EAX = 90º - CAD => los ángulos OAE y OAC son iguales => la recta determinada por OA es la bisectriz del ángulo EAC => las cuerdas EA= AC .

Al tener los triángulos EAD y CAF iguales tres ángulos y un lado correspondiente => son iguales y por tanto serán iguales las distancias ED y CF.

Entonces

  • CA 2 = CB × CF (potencia de C respecto de O´)
  • DA 2 = ED × DB (potencia de D respecto de O)
de donde
CF = CA 2 / CB;   ED = DA 2 /DB
Como CF = ED => CA 2 / CB = DA 2 /DB y por fin
CA 2 × DB = DA 2 × CB

La solución de José Carrión
Como los ángulos 4 y 5 son evidentemente iguales, los arcos AFC y AED que son semi-inscritos tienen la misma amplitud.
Los triángulos ABC y ABD son semejantes, tienen <2 = <7 que son inscritos que abrarcan los arcos anteriores; también son iguales <3 y <8, ambos, uno inscrito y el otro semi-inscrito, abarcan el mismo arco, el AB de la circunferencia al triángulo ABC.
De tal semejanza se deduce
AC/AD = AB/BD = BC/AB
de donde
AC/AD = AB/BD
AC/AD = BC/AB
Multiplicando ambas igualdades miembro a miembro se obtiene la igualdad buscada.

 
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