(#155) Una más de congruencia
En el siguiente triángulo hallar zeta

mano_dSolución de Antonio Sicre
En la figura, los triángulos AKB y KBC son isósceles, por tanto, AK = KB = BC = d
(1)
Como KQ = d - QB en el triángulo AQB planteamos:
QB × cos(20) + AQ × cos(10) = 2d × cos(20)
QB × sen(20) = AQ × sen(10)
De estas expresiones obtenemos QB = 4d × cos(20) × sen(10) y como KQ = d - QB resulta
KQ = d - 4d × cos(20) sen(10)
Sustituyendo en (1)
de ahí se obtiene q = 10º

mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Llamando a, b y c a los lados del triángulo y prolongando el segmento BQ hasta cortar al lado AC en P, tenemos que a = BC = PB = AP puesto que los triángulos ABP y PBC son isósceles.
Aplicando el Teorema del seno, tenemos:
Triángulo BPC:     (#1)
Triángulo CQP:     (#2)
Triángulo AQP:     (#3)

Dividiendo (#2) entre (#3)

(#4)
Sustituyendo (#1) en (#4) y operando
De dicha expresión resulta
de donde se implica que q = 10º puesto que 0 < t < 180º

Nota  

Saludos, Ignacio Larrosa Cañestro

mano_dLa solución de Julio Ubaldo
De acuerdo a la figura: en el triágulo ABC: m(BCA) = 40º
En el mismo triángulo tracemos la ceviana BM de modo tal que: m(QBM) = 60º y m(MBC) = 40º
Luego: el triá BMC es isósceles (BM = MC) pues m(ABM) = m(BMA) = 80º
El triágulo ABM es isósceles AB = AM
Unamos Q con M entonces: el triágulo BAQ = triángulo MAQ (criterio LAL) luego m(QMA) = 20º entonces m(BMQ) = 60º Se deduce que el trián BQM es equilátero entonces BM = MQ = QB
Por lo tanto el triángulo QMC es isósceles: QM = MC entonces m(MQC) = q Por propiedad de triángulos: 2q = 20º de donde q = 10º

 
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