(#157) Relación entre las aristas
Hallar la relación entre las aristas del cubo inscrito y circunscrito a un dodecaedro regular


mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Las caras del dodecaedro pueden agruparse en seis pares de pentágonos adosados por uno de sus lados y orientados en tres direcciones mutuamente perpendiculares.
En cada par de pentágonos contiguos podemos inscribir un cuadrado, dos de cuyos lados son las diagonales de estos pentágonos paralelas a la arista común, y los otros dos las diagonales de los dos pentágonos encajados por estos a ambos lados. Estos seis cuadrados son las caras de un cubo, cuyos vértices coinciden con vértices del dodecaedro, por lo que no puede haber un cubo mayor interior al dodecaedro.
Por tanto la arista del cubo inscrito es la diagonal de las caras.
El mínimo cubo que circunscribe al dodecaedro no puede apoyar sus caras en las de esta, porque no se disponen en tres pares mutuamente perpendiculares. El mínimo cubo, simétricamente dispuesto respecto al dodecaedro, es el que tiene sus caras paralelas al inscrito y apoyadas en las seis aristas del dodecaedro que no tienen puntos en común con el cubo inscrito.
La arista de este cubo es distancia entre los puntos medios de aristas opuestas.
Cortando el dodecaedro por un plano paralelo a dos bases opuestas, se obtiene una sección que pasa por los puntos medios de 10 aristas, pertenecientes a los otros diez pentágonos. Esta sección es un decágono regular, cuyo lado es la mitad de la diagonal de las caras.
Por tanto la relación entre el lado del cubo inscrito (diagonal de las caras pentagonales) y el del circunscrito (distancia entre puntos medios de aristas opuestas), es el doble de la que hay entre el lado (CB) y el diámetro (AB) de un decágono regular, es decir, el doble de la que hay entre la mitad del lado (DC) y la diagonal (AC) del pentágono regular, 2 × sen(a), (el ángulo ACB es recto por estar inscrito en una semicircunferencia).
En definitiva, la relación es la misma que la que hay entre el lado 'a' (CE) y la diagonal 'd' (AC) del pentágono regular. Esta no es otra que 1/f, donde f es el número áureo.
Saludos.


mano_dSolución de Antonio Sicre
La solución más sencilla creo que es la que corresponde a la figura adjunta. En ella se representa la proyección del dodecaedro y de los dos cubos sobre cualquiera de los tres planos paralelos a las caras de los cubos. Los segmentos LM, PO, SR son aristas del dodecaedro en verdadera magnitud "a".
Arista del cubo inscrito
Arista del cubo circunscrito
Luego

Puede solucionarse por otros procedimientos, creo que el interés del problema consiste en "ver" cómo está inscrito y circunscrito el dodecaedro, porque el cálculo es muy sencillo.
Es interesante el que la proporción sea según la regla áurea. También creo de interés que al ser VF = a/2 quiere decir que entre cuatro dodecaedros entra exactamente un cuadrado, o lo que es lo mismo entre ocho dodecaedros entra un cubo de arista igual a la del dodecaedro.
Un cordial saludo
Antonio Sicre


 
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