(#168) Relación entre las áreas
Los puntos M, N, P están situados en los lados AB, BC, AC, respectivamente, del triángulo ABC, tales que
Los segmentos AN, BP, CM se cortan formando un triángulo cuya área representamos por T. Hallar la relación entre el área del triángulo ABC y T.


mano_dSolución de José Carrión
Primeramente demostraremos que RS es paralela a XZ y que pasa por Y. El punto R es medio entre P y P'. El punto S es una divisisn del lado BC.
(Los números que aparecen son valores de proporcionalidad, y no medidas)
La notaciónn [ ] significa magnitud vectorial.
Sea Q un punto cualquiera.
 (1)

 (2)
Sustituyendo (1) en (2)
Identificando coeficientes, resulta
Por simetría podemos aceptar las proporciones señaladas en la figura. Denotaremos el área de un triangulo IJK por (IJK).
(ABC) = S ; (XYZ) = T
(AXM) = T/3, pues XM es un tercio de XY, con la misma altura.
(MXB) = 2 (AXM) = 2T/3; ambos con doble base e igual altura (MB = 2AM)
(BXZ) = (ZXY) = T; la misma base BZ = ZY e igual altura.
Resumiendo:
S = (AZB) + (BYC) + (CXA) + (XYZ) = 2T + 2T + 2T + T = 7T
El triángulo ABC contiene 7 veces al triangulo T.

mano_dSolución de Ignacio Larrosa En las transformaciones afines se conserva la razón simple de tres puntos alineados, y por tanto las relaciones entre segmentos paralelos y entre áreas. Entonces, el problema puede resolverse en cualquier triángulo, mediante procedimientos trigonométricos o analíticos. Voy a emplear en cambio un procedimiento más "físico".
Llamemos X, Y y Z a los puntos de intersección de los segmentos AN y CM, BP y AN, y CM y BP, respectivamente.
Si colocamos en C una unidad de peso, dos en B y cuatro en A, el punto M es el centro de gravedad de A y B, mientras que el N lo es de C y B. El centro de gravedad de los tres estará en los segmentos AN y CM, y por tanto en su intersección, el punto X.
Como en A tenemos un peso de 4 y en N de 3, el punto X es tal que
A su vez, en C tenemos un peso de 1 y en M de 6, por lo que
Utilizaré la notación (AB..Z) para el área de un polígono, no cruzado, de vértices A, B, .., Z.

Tenemos entonces que (AMC) = 1/3 (ABC), pues ambos triángulos tienen la misma altura y el AMC un tercio de la base que el ABC.
Por la misma raz´n, (AMX) = 1/7 (AMC) = 1/21 (ABC). Rotando los pesos, llegamos a la conclusión de que

(AMX) = (BNY) = (CPZ) = 1/21 (ABC)
Deducimos entonces que para los cuadriláteros AXZP BYXM y CZYN se tiene que
(BYXM) = (CZYN) = (AXZP) = (AMC) - (AMX) - (CPZ) = 1/3 - 2/21 = 5/21
Entonces

ADDENDUM: Si se dividen los lados en p, q y r partes iguales, y se unen los vértices con el punto de división del lado opuesto más próximo en sentido antihorario, ¿para qué valores de p, q y r se consigue una relación entera entre las áreas (ABC)/(XYZ)?
Por ejemplo, para (p, q, r) = (3, 3, 3), tal relación es 7, como se ha visto, y para (p, q, r) = (2, 5, 8), es 4.
(Es el problema 2401 del "Journal of Recreational Mathematics")


mano_dLa Solución de Carlos Álvarez
Solución algebraica. Tomamos la longitud del lado AB como unidad de medida; colocamos el lado AB sobre el eje de abscisas de un sistema de referencias cartesiano, con A como origen de dicho sistema y B sobre el semieje positivo.
Coordenadas de los puntos: A = (0, 0) B = (1, 0) C = (a, b) M = (1/3, 0) P = (2a/3, 2b/3) con a, b números reales cualesquiera.
La recta AN tiene por ecuación:

AN: bx - (a + 2) y = 0
Análogamente se obtienen las rectas:
BP: 2bx + (3 - 2a) y = 2b Los puntos que determinan el triángulo de área T son (resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones):
La norma del producto vectorial de los vectores A'B' y A'C' es el doble de T. Luego:
El área S del triángulo ABC es S = b/2 luego S = 7T

 
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