(#173) Bolas y urnas
Seis bolas diferentes são colocadas em três urnas diferentes. ¿Qual a probabilidade de que todas as urnas estejam ocupadas?


mano_dSolución de Ignacio Larrosa
Hay 36 = 729 formas de distribuir las 6 bolas en las tres urnas.
Veamos primero en cuántas de ellas, alguna urna esta vacía.
La probabilidad de que alguna esta vacía, es la suma de la probabilidad de que lo esté la 1ª, mas de que lo está la 2ª, más de que lo esté la 3ª, menos la probabilidad de que estén vacías la 1ª y la 2ª, la 1ª y la 3ª y la 2ª y la 3ª. Habría que añadir la probabilidad de que están vacías las tres, pero este caso no puede presentarse.

Entonces, la probabilidad de que alguna esté vacía, P(AV), es tres veces la de que una determinada este vacía, P(1V), menos tres veces el de que dos determinadas estén vacías, P(2V):

P(AV) = 3 × P(1V) - 3P(2V)
  • P(1V) = (2/3)6 (todas están en cualquiera de las otras dos)
  • P(2V) = (1/3)6 (todas están en la otra)
  • P(AV) = 3((2/3)6 - (1/3)6) = (64 - 1)/35 = 7/27
    Luego la probabilidad de que estén todas llenas, P(0V), es
    P(0V) = 1 - P(AV) = 20/27 ~= 0.740...

    Saludos
    Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España)

    • mano_dSolución de José Carrión
    Sean las urnas a ,b y c.
    Tengamos el atrevimiento, dado que las urnas son diferentes y las bolas también, de desarrollar la sexta potencia de (a + b + c) utilizando la fórmula de Leibnitz para desarrollar la potencia de un polinomio
    Casos posibles = la suma de todos los coeficientes = 729
    Casos favorables = la suma de los coeficientes de aquellos tirminos que contienen a, b y c = 540.
    Probabilidad que se pide
    [jcb]

    mano_dSolución de F.Damian Aranda Ballesteros
    En principio el número total de distribuciones de 6 bolas diferentes en 3 urnas distintas es igual a 36.
    Clasificamos este número de distribuciones en aquellas que están todas ocupadas o con ninguna urna vacía (N0), y en las que contengan alguna una urna vacía (N1),.

    Ahora bien:
    (N1) = 3 × 26 - 3 ya que en principio podemos elegir como urna vacía cualquiera de las tres y por otro lado el número total de distribuciones de 6 bolas diferentes en las 2 urnas restantes sería igual a 26 . Ahora bien por cada urna elegida al principio como urna vacía, aparecerman dos distribuciones donde todas las bolas quedarman colocadas al final en una sola de las otras dos urnas, por lo que en el cómputo de 3 × 26 quedarían contabilizadas cada una de ellas dos veces, por eso a este nzmero habría que restarle 3. N1 = 3 × 26 - 3

    Luego


     
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