G.M. Historias
  Aproximaciones a la secuencia primaria  
Criba de Eratóstenes: Si N es un número compuesto, entonces al menos uno de los factores primos de N es menor que o igual a la raíz cuadrada de N.

La secuencia primaria (progresión de los números primos), como sabemos, ha sido y está siendo construida mediante elaborados algoritmos y la ayuda de poderosas computadoras. Por desgracia, no existe algoritmo alguno que permita producir en un tiempo y costo razonable el enésimo primo dentro de la secuencia primaria o bien determinar la "primidad" de un particular número (enormes números de la forma 2n + 1, diferente a cualquier múltiplo de 5).

El presente escrito, aunque no pretende solucionar este problema, creemos que contribuye con una aproximación a la secuencia primaria para facilitar la determinación de mejores algoritmos.
De esta suerte, nuestro objetivo es más humilde: determinar la secuencia límite o que más nos aproxime a la progresión de los números primos con el fin de que sirva de base para quienes andan en la búsqueda de algoritmos más eficaces para la determinación de números primos del orden de los millones de dígitos.
Para lograr este objetivo, en primer lugar ordenamos la secuencia de los números naturales en una matriz de 18 columnas que nos permita obtener (mediante la eliminación de las columnas no productoras de números primos, además de la determinación de las distancias entre los números que conforman la secuencia) otras secuencias que se aproximan de manera gradual a la progresión primaria. Veremos que hay un límite para esta tarea debido a la presencia de n´meros compuestos irreductibles, al menos en apariencia, a un criterio que los pueda ordenar en alguna matriz.

La manera de conteo que se ha elegido, es una combinacisn de números pares (mismos que representan las distancias entre los números de las secuencias) y que no es más que una variante de la "Criba de Eratóstenes" (véase la frase con la que se inicia este ensayo). Es verdad que la "Criba de Eratóstenes" resulta poco práctica para números muy grandes, pero también es cierto que desde otras perspectivas (más generales o inclusivas) esta criba tiene mucho que ofrecer como herramienta en el estudio de los números primos; como ejemplo de esta aplicación culminamos con una referencia a nuestras contribuciones en relación con la Conjetura Binaria de Goldbach.

A. Antecedentes y Desarrollo de Nuestras Ideas.
Primeramente recordemos que:

  1. El conjunto de los números primos estacute; constituido por aquellos números que únicamente son divisibles por uno y por sí mismos (es decir, que si los dividimos por otros números dejarán, en todos los casos, un remanente).
  2. Un número compuesto, por su parte, es el "... que tiene un divisor distinto de él y de la unidad." Por lo tanto, pueden factorizarse, también, en números primos.
  3. Una progresión es una secuencia ordenada de números. En general una progresisn se representa así: a1, a2, a3, a4 ... an ... donde a1 es el primer término de la progresión y an es el enésimo término de la misma. Según la relación que existe entre los elementos consecutivos de una progresión, ésta puede ser aritmética, geométrica, armónica, o de otros tipos.
En este trabajo nos apoyamos en la noción de progresión aritmética, es decir, aquella "lista o conjunto ordenado de números" que guardan una diferencia o un conjunto de diferencias (como veremos más adelante) constantes entre sí.
De aquí en adelante nos referiremos a las progresiones en términos de secuencias.
Acordemos en representar una determinada secuencia del modo S{a,b}(n) que se lee: secuencia de "a" en "b" desde "n" hasta el infinito.

   Ejemplos:

  1. S{1,1}(1)
    Secuencia de 1 en 1, desde uno hasta el infinito es igual a.... Significa que, empezando desde la unidad simplemente vamos sumando uno a los resultados de las sumas correspondientes:
    1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 ... an + 1 = ... o más claro aún: que vamos contando "de uno en uno a partir de la unidad".

  2. S{2 , 1}(3)
    Significa que, empezando desde tres, vamos sumando de manera alternada dos y uno a los resultados de las sumas correspondientes
    • 3 + 2 = 5
    • 5 + 1 = 6
    • 6 + 2 = 8
    • 8 + 1 = 9
    • .................
    • an + 2 = an + 1
    • an + 1 + 1 = a(n + 1) + 1
    • .................

    S{5, 3, 1}(2)
    En el que se alternarán los sumandos 5, 3, 1 para cada uno de los resultados de las sumas correspondientes; esto es: que vamos contando de 5, 3, 1 en 5, 3, 1 empezando por el 2.

    • 2 + 5 = 7
    • 7 + 3 = 10
    • 10 + 1 = 11
    • 11 + 5 = 16
    • 16 + 3 = 19
    • 19 + 1 = 20
    • .................
    • an + 5 = an + 1
    • an + 1 + 3 = a(n + 1) + 1
    • an(n + 1) + 1 + 1 = a((n + 1) + 1) + 1
    • .................

    Para nuestro objetivo enunciado comenzaremos por retomar el primer ejemplo dado líneas arriba, a saber:

    S{1,1}(1) = 1, 2, 3, ... n, ...
    que no es otro que el conjunto de los números naturales (o, si se prefiere, de los números enteros positivos). Con el fin de ubicar los números primos, ordenemos en una matriz de 18 columnas al menos hasta el número 522; así, obtenemos:

PRESENTACIÓN MODULAR DE LA SECUENCIA S{1,1}(1) = 1, 2, 3, ... n, ...
-A- -B- -C- -D- -E- -F- -G- -H- -I- -J- -K- -L- -M- -N- -O- -P- -Q- -R-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
55 56 56 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126
127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162
163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198
199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216
217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234
235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252
253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270
271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288
289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306
307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324
325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342
343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360
361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378
379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396
397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414
415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432
433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450
451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468
469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486
487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504
505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522
Porcentajes: primos: ±19%    compuestos: ±81%
Observamos que los números primos (en amarillo) se ubican, junto con "algunos" compuestos impares, en las columnas A, E, G, K, M y Q. Eliminemos, pues, las columnas en las que no aparezcan primos (aunque observamos que en las columnas B y C están los primos 2 y 3, respectivamente, éstos no "producen primo alguno en sus columnas"), de este modo queda la siguiente matriz de 6 columnas.
Presentacióm Modular de la Secuencia
S{4,2}(1) = 1, 2, 3, ... n, ...
-A- -E- -G- -K- -M- -Q-
1 5 7 11 13 17
19 23 25 29 31 35
37 41 43 47 49 53
55 59 61 65 67 71
73 77 79 83 85 89
91 95 97 101 103 107
109 113 115 119 121 125
127 131 133 137 139 143
145 149 151 155 157 161
163 167 169 173 175 179
181 185 187 191 193 197
199 203 205 209 211 215
217 221 223 227 229 233
235 239 241 245 247 251
253 257 259 263 265 269
271 275 277 281 283 287
289 293 295 299 301 305
307 311 313 317 319 323
325 329 331 335 337 341
343 347 349 353 355 359
361 365 367 371 373 377
379 383 385 389 391 395
397 401 403 407 409 413
415 419 421 425 427 431
433 437 439 443 445 449
451 455 457 461 463 467
469 473 475 479 481 485
487 491 493 497 499 503
505 509 511 515 517 521
Porcentajes: primos: ±55%    compuestos: ±45%

Observamos, de entrada, que se define la secuencia S{4, 2}(3) dado que las distancias entre los números que componen la matriz es de 4, 2.
La presentacisn lineal de esta secuencia es:
{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 145, 149, 151, 155, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 175, 179, 181, 185, 187, 191, 193, 197, 199, 203, 205, 209, 211, 215, 217, 221, 223, 227, 229, 233, 235, 239, 241, 245, 247, 251, 253, 257, 259, 263, 265, 269, 271, 275, 277, 281, 283, 287, 289, 293, 295, 299, 301, 305, 307, 311, 313, 317, 319, 323, 325, 329, 331, 335, 337, 341, 343, 347, 349, 353, 355, 359, 361, 365, 367, 371, 373, 377, 379, 383, 385, 389, 391, 395, 397, 401, 403, 407, 409, 413, 415, 419, 421, 425, 427, 431, 433, 437, 439, 443, 445, 449, 451, 455, 457, 461, 463, 467, 469, 473, 475, 479, 481, 485, 487, 491, 493, 497, 499, 503, 505, 509, 511, 515, 517, 521 ...}
En esta secuencia observamos que es posible deshacernos de los múltiplos de 5 (incluido el propio 5 que, como sabemos, también es primo). Es decir que, para desembarazarnos de los múltiplos de 5, se puede definir una nueva secuencia, a saber: S{4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6}(7) . Cuya solución (hasta el 541) es:
{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119, 121,127, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199, 203, 209, 211, 217, 221, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 247, 251, 253, 257, 259, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 287, 289, 293, 299, 301,307, 311, 313, 317, 319, 323, 329, 331,337, 341, 343, 347, 349, 353, 359, 361, 367, 371, 373, 377, 379, 383, 389, 391, 397, 401, 403, 407, 409, 413, 419, 421, 427, 431, 433, 437, 439, 443, 449, 451, 457, 461, 463, 467, 469, 473, 479, 481, 487, 491, 493, 497, 499, 503, 509, 511, 517, 521, 523, 527, 529, 533, 539, 541 ...}

Y que podemos, a su vez, ordenar en una matriz de 8 columnas

Presentación Modular de la Secuencia
S{4, 2,4, 2, 4, 6, 2, 6}(7)
7 11 13 17 19 23 29 31
37 41 43 47 49 53 59 61
67 71 73 77 79 83 89 91
97 101 103 107 109 113 119 121
127 131 133 137 139 143 149 151
157 161 163 167 169 173 179 181
187 191 193 197 199 203 209 211
217 221 223 227 229 233 239 241
247 251 253 257 259 263 269 271
277 281 283 287 289 293 299 301
307 311 313 317 319 323 329 331
337 341 343 347 349 353 359 361
367 371 373 377 379 383 389 391
397 401 403 407 409 413 419 421
427 431 433 437 439 443 449 451
457 461 463 467 469 473 479 481
487 491 493 497 499 503 509 511
517 521 523 527 529 533 539 541
Porcentajes: primos: ±67%    compuestos: ±33%

Aunque, según podemos notar, ya no podemos determinar distancias regulares entre los números compuestos, el porcentaje de primarios es superior al de los compuestos al menos para los primeros 144 números de esta secuencia. Desde luego que "la historia" de los primos se repetirá, creemos, conforme se avance en la secuencia, a saber: a pesar de la infinitud de su conjunto, seran mas "escasos" conforme la serie represente números enteros positivos muy grandes. Las perspectivas para el estudio de los primos dentro de esta última matriz suponemos que mejoraría si hiciésemos un tratamiento de las columnas como "secuencias secundarias" de S{4, 2,4, 2, 4, 6, 2, 6}(7) haciendo, para cada uno de los valores, de la manera siguiente:
En general:
S{Pn + 30 = an ; an + 30 = an + 1 ; an + 1 + 30 = a (n + 1) + 1 }
en donde "Pn" es uno de los números primos "iniciales"
7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31
para cada una de las "secuencias secundarias"
. Por ejemplo, tomemos S{30, 30}(7) cuya solución, hasta el 2167, es:

{7, 37, 67, 97, 127, 157, 187, 217, 247, 277,307, 337, 367, 397, 427, 457, 487, 517, 547, 577, 607, 637, 667, 697, 727, 757, 787, 817, 847, 877, 907, 937, 967, 997, 1027, 1057, 1087, 1117, 1147, 1177, 1207, 1237, 1267, 1297, 1327, 1357, 1387, 1417, 1447, 1477, 1507, 1537, 1567, 1597, 1627, 1657, 1687, 1717, 1747, 1777, 1807, 1837, 1867,1897, 1927, 1957, 1987, 2017, 2047, 2077, 2107, 2137, 2167...}

Se nos ocurre plantear algunas preguntas en relación con S{4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6 }(7) ("secuencia principal") y S{Pn + 30 = a n; a n + 30 = an + 1; an + 1 + 30 = a(n + 1) + 1 ... } para las "secuencias secundarias":

1. ¿Por qué precisamente estos números compuestos (de la forma 2n+1) acompañan a los números primos? Pareciera inevitable su presencia, lo que nos hace pensar en que sus características serían "especiales" en comparación con los números compuestos que, gracias a S{4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6 }(7) no han sido incluidos.

2. ¿Si poseyeran características especiales y diferenciadoras de los otros compuestos de la forma 2n + 1 diferentes a los mzltiplos de 5, debieran estos números compuestos recibir alguna denominación especial; por ejemplo la de "compuestos primarios"?

3. ¿En las "secuencias secundarias" con sus específicos números primos "iniciales", incluyen compuestos con características diferentes entre sí; considerando de entrada que se originaron de sumar 30 a uno de los primos que les da origen?

4. ¿Bajo qué criterios podría hacerse una presentación modular de cada una de las "secuencias secundarias", considerando que los "compuestos primarios"(vamos a llamarlos asm de manera provisional) parecen distribuirse al azar dentro de esas secuencias?
De hecho, la presencia de esos "compuestos primarios", pensamos, tiene que ver con el planteamiento de Clawson:
"¿Existe alguna ecuación polinómica que genere solamente números primos cuando se sustituya la x (de los polinomios f(x) = Ax + B; f(x) = Ax 2 + Bx + C; f(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D) con los números enteros? No. Desdichadamente, cada ecuación polinómica con coeficiente entero tendrá una cantidad infinita de valores de X con los que producirá números compuestos. Por lo tanto, no debemos esperar encontrar una ecuación polinómica común, de ningún grado, que produzca cien por ciento de números primos" (sic).

5. Las representaciones hasta ahora propuestas, ¿en qué medida pueden contribuir en la codificación de grandes volúmenes de información?

6. ¿Estas aproximaciones propuestas pueden facilitar la creación de mejores algoritmos productores de números primos y cómo podemos demostrar esto?
Las tareas sugeridas por estas preguntas, escapan a las posibilidades de este trabajo y a las capacidades del autor (al menos en el momento en que se presenta este escrito). Sin embargo, uno de nuestros trabajos prioritarios será el de intentar la elaboración de algún algoritmo útil.

Lo Dijo... ::: En breve aparecerá la segunda parte, y última, de este trabajo



  Aproximaciones a la secuencia primaria