La secuencia primaria (progresión de los números primos), como sabemos, ha sido y está siendo construida mediante elaborados algoritmos y la ayuda de poderosas computadoras. Por desgracia, no existe algoritmo alguno que permita producir en un tiempo y costo razonable el enésimo primo dentro de la secuencia primaria o bien determinar la "primidad" de un particular número (enormes números de la forma 2n + 1, diferente a cualquier múltiplo de 5).

El presente escrito, aunque no pretende solucionar este problema, creemos que contribuye con una aproximación a la secuencia primaria para facilitar la determinación de mejores algoritmos.
De esta suerte, nuestro objetivo es más humilde: determinar la secuencia límite o que más nos aproxime a la progresión de los números primos con el fin de que sirva de base para quienes andan en la búsqueda de algoritmos más eficaces para la determinación de números primos del orden de los millones de dígitos.
Para lograr este objetivo, en primer lugar ordenamos la secuencia de los números naturales en una matriz de 18 columnas que nos permita obtener (mediante la eliminación de las columnas no productoras de números primos, además de la determinación de las distancias entre los números que conforman la secuencia) otras secuencias que se aproximan de manera gradual a la progresión primaria. Veremos que hay un límite para esta tarea debido a la presencia de n´meros compuestos irreductibles, al menos en apariencia, a un criterio que los pueda ordenar en alguna matriz.

La manera de conteo que se ha elegido, es una combinacisn de números pares (mismos que representan las distancias entre los números de las secuencias) y que no es más que una variante de la "Criba de Eratóstenes" (véase la frase con la que se inicia este ensayo). Es verdad que la "Criba de Eratóstenes" resulta poco práctica para números muy grandes, pero también es cierto que desde otras perspectivas (más generales o inclusivas) esta criba tiene mucho que ofrecer como herramienta en el estudio de los números primos; como ejemplo de esta aplicación culminamos con una referencia a nuestras contribuciones en relación con la Conjetura Binaria de Goldbach.

A. Antecedentes y Desarrollo de Nuestras Ideas.
Primeramente recordemos que:

1. El conjunto de los números primos estacute; constituido por aquellos números que únicamente son divisibles por uno y por sí mismos (es decir, que si los dividimos por otros números dejarán, en todos los casos, un remanente).
2. Un número compuesto, por su parte, es el "... que tiene un divisor distinto de él y de la unidad." Por lo tanto, pueden factorizarse, también, en números primos.
3. Una progresión es una secuencia ordenada de números. En general una progresisn se representa así: a₁, a₂, a₃, a₄ ... a_n ... donde a₁ es el primer término de la progresión y a_n es el enésimo término de la misma. Según la relación que existe entre los elementos consecutivos de una progresión, ésta puede ser aritmética, geométrica, armónica, o de otros tipos.

S{a,b}(n)

   Ejemplos:

1. S{1,1}(1)
   Secuencia de 1 en 1, desde uno hasta el infinito es igual a.... Significa que, empezando desde la unidad simplemente vamos sumando uno a los resultados de las sumas correspondientes:
   1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4 ... a_n + 1 = ... o más claro aún: que vamos contando "de uno en uno a partir de la unidad".

2. S{2 , 1}(3)
   Significa que, empezando desde tres, vamos sumando de manera alternada dos y uno a los resultados de las sumas correspondientes
   
   • 3 + 2 = 5
   • 5 + 1 = 6
   • 6 + 2 = 8
   • 8 + 1 = 9
   • .................
   • a_n + 2 = a_{n + 1}
   • a_{n + 1} + 1 = a_{(n + 1) + 1}
   • .................

   S{5, 3, 1}(2)
   En el que se alternarán los sumandos 5, 3, 1 para cada uno de los resultados de las sumas correspondientes; esto es: que vamos contando de 5, 3, 1 en 5, 3, 1 empezando por el 2.
   

   • 2 + 5 = 7
   • 7 + 3 = 10
   • 10 + 1 = 11
   • 11 + 5 = 16
   • 16 + 3 = 19
   • 19 + 1 = 20
   • .................
   • a_n + 5 = a_{n + 1}
   • a_{n + 1} + 3 = a_{(n + 1) + 1}
   • a_{n(n + 1) + 1} + 1 = a_{((n + 1) + 1) + 1}
   • .................

   Para nuestro objetivo enunciado comenzaremos por retomar el primer ejemplo dado líneas arriba, a saber:

   S{1,1}(1) = 1, 2, 3, ... n, ...
   que no es otro que el conjunto de los números naturales (o, si se prefiere, de los números enteros positivos). Con el fin de ubicar los números primos, ordenemos en una matriz de 18 columnas al menos hasta el número 522; así, obtenemos:

S{4, 2}(3)

{1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 145, 149, 151, 155, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 175, 179, 181, 185, 187, 191, 193, 197, 199, 203, 205, 209, 211, 215, 217, 221, 223, 227, 229, 233, 235, 239, 241, 245, 247, 251, 253, 257, 259, 263, 265, 269, 271, 275, 277, 281, 283, 287, 289, 293, 295, 299, 301, 305, 307, 311, 313, 317, 319, 323, 325, 329, 331, 335, 337, 341, 343, 347, 349, 353, 355, 359, 361, 365, 367, 371, 373, 377, 379, 383, 385, 389, 391, 395, 397, 401, 403, 407, 409, 413, 415, 419, 421, 425, 427, 431, 433, 437, 439, 443, 445, 449, 451, 455, 457, 461, 463, 467, 469, 473, 475, 479, 481, 485, 487, 491, 493, 497, 499, 503, 505, 509, 511, 515, 517, 521 ...}

S{4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6}(7)

{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119, 121,127, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 161, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199, 203, 209, 211, 217, 221, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 247, 251, 253, 257, 259, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 287, 289, 293, 299, 301,307, 311, 313, 317, 319, 323, 329, 331,337, 341, 343, 347, 349, 353, 359, 361, 367, 371, 373, 377, 379, 383, 389, 391, 397, 401, 403, 407, 409, 413, 419, 421, 427, 431, 433, 437, 439, 443, 449, 451, 457, 461, 463, 467, 469, 473, 479, 481, 487, 491, 493, 497, 499, 503, 509, 511, 517, 521, 523, 527, 529, 533, 539, 541 ...}

Y que podemos, a su vez, ordenar en una matriz de 8 columnas

Presentación Modular de la Secuencia S{4, 2,4, 2, 4, 6, 2, 6}(7)
7	11	13	17	19	23	29	31
37	41	43	47	49	53	59	61
67	71	73	77	79	83	89	91
97	101	103	107	109	113	119	121
127	131	133	137	139	143	149	151
157	161	163	167	169	173	179	181
187	191	193	197	199	203	209	211
217	221	223	227	229	233	239	241
247	251	253	257	259	263	269	271
277	281	283	287	289	293	299	301
307	311	313	317	319	323	329	331
337	341	343	347	349	353	359	361
367	371	373	377	379	383	389	391
397	401	403	407	409	413	419	421
427	431	433	437	439	443	449	451
457	461	463	467	469	473	479	481
487	491	493	497	499	503	509	511
517	521	523	527	529	533	539	541
Porcentajes: primos: ±67%    compuestos: ±33%

S{4, 2,4, 2, 4, 6, 2, 6}(7)

S{30, 30}(7)

{7, 37, 67, 97, 127, 157, 187, 217, 247, 277,307, 337, 367, 397, 427, 457, 487, 517, 547, 577, 607, 637, 667, 697, 727, 757, 787, 817, 847, 877, 907, 937, 967, 997, 1027, 1057, 1087, 1117, 1147, 1177, 1207, 1237, 1267, 1297, 1327, 1357, 1387, 1417, 1447, 1477, 1507, 1537, 1567, 1597, 1627, 1657, 1687, 1717, 1747, 1777, 1807, 1837, 1867,1897, 1927, 1957, 1987, 2017, 2047, 2077, 2107, 2137, 2167...}

Se nos ocurre plantear algunas preguntas en relación con S{4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6 }(7) ("secuencia principal") y S{P_n + 30 = a _n; a _n + 30 = a_{n + 1}; a_{n + 1} + 30 = a_{(n + 1) + 1} ... } para las "secuencias secundarias":

1. ¿Por qué precisamente estos números compuestos (de la forma 2n+1) acompañan a los números primos? Pareciera inevitable su presencia, lo que nos hace pensar en que sus características serían "especiales" en comparación con los números compuestos que, gracias a S{4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6 }(7) no han sido incluidos.

2. ¿Si poseyeran características especiales y diferenciadoras de los otros compuestos de la forma 2n + 1 diferentes a los mzltiplos de 5, debieran estos números compuestos recibir alguna denominación especial; por ejemplo la de "compuestos primarios"?

3. ¿En las "secuencias secundarias" con sus específicos números primos "iniciales", incluyen compuestos con características diferentes entre sí; considerando de entrada que se originaron de sumar 30 a uno de los primos que les da origen?

4. ¿Bajo qué criterios podría hacerse una presentación modular de cada una de las "secuencias secundarias", considerando que los "compuestos primarios"(vamos a llamarlos asm de manera provisional) parecen distribuirse al azar dentro de esas secuencias?
De hecho, la presencia de esos "compuestos primarios", pensamos, tiene que ver con el planteamiento de Clawson:
"¿Existe alguna ecuación polinómica que genere solamente números primos cuando se sustituya la x (de los polinomios f(x) = Ax + B; f(x) = Ax ² + Bx + C; f(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D) con los números enteros? No. Desdichadamente, cada ecuación polinómica con coeficiente entero tendrá una cantidad infinita de valores de X con los que producirá números compuestos. Por lo tanto, no debemos esperar encontrar una ecuación polinómica común, de ningún grado, que produzca cien por ciento de números primos" (sic).

5. Las representaciones hasta ahora propuestas, ¿en qué medida pueden contribuir en la codificación de grandes volúmenes de información?

6. ¿Estas aproximaciones propuestas pueden facilitar la creación de mejores algoritmos productores de números primos y cómo podemos demostrar esto?
Las tareas sugeridas por estas preguntas, escapan a las posibilidades de este trabajo y a las capacidades del autor (al menos en el momento en que se presenta este escrito). Sin embargo, uno de nuestros trabajos prioritarios será el de intentar la elaboración de algún algoritmo útil.

::: En breve aparecerá la segunda parte, y última, de este trabajo