Problema 14 El plano y las circunferencias
Una circunferencia divide al plano en dos regiones. Dos circunferencias pueden dividir al plano en cuatro regiones. Tres circunferencias pueden dividir al plano en ocho regiones como máximo. ¿Y seis circunferencias?, ¿y diez circunferencias?, ¿y n circunferencias?.

Solución
El problema tiene truco, puesto que con 2 n se cumplen los tres primeros casos, pero a partir de ahí hay que buscar otra fórmula que se refiere al espacio de n dimensiones. Dibujando me encuentro:
    n = 1 => Regiones = 2 = 1 * 0 + 2
    n = 2 => Regiones = 4 = 2 * 1 + 2
    n = 3 => Regiones = 8 = 3 * 2 + 2
    n = 4 => Regiones = 14 = 4 * 3 + 2
    n = 5 => Regiones = 22 = 5 * 4 + 2
    . . . . . . . . . . . . . . . . . .
    n = 7 => Regiones = 44 = 7 * 6 + 2

Parece que la ley es Circunferencias = n => R = n * (n - 1) + 2 y no 2 n. Es curioso que los tres primeros términos coincida. Gracias a la inestimable ayuda de Francisco J. Sánchez.


Comentario adicional de la G.M.
Consideremos la sucesión 2, 4, 8, 14, ...y establezcamos las diferencias sucesivas:

   a i       D i 1       D i 2       D i 3   
2220
4420
862-
148--

En donde a i son los términos de la sucesión, D i 1 las diferencias de primer orden, es decir

D 11 = a 2 - a 1 = 4 - 2 = 2
D 21 = a 3 - a 2 = 8 - 4 = 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D i2 son las diferencias de segundo orden, construídas a partir de las de primer orden de forma análoga a la anterior
D 12 = D 21 - D 11 = 4 - 2 = 2
D 22 = D 31 - D 21 = 6 - 4 = 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Análogamente llegamos a que todas las diferencias de tercer orden D i3 son nulas y todas las siguientes.
Puede demostrarse, aunque no lo haremos, que cualquier elemento de la primera columna, es decir de los términos de la sucesión, pueden expresarse en función de los de la primera fila, es decir, del primer témino de la sucesión y de las diferencias de primero, segundo,... orden.
Dicha expresión es, para nuestro caso:
para a1 = D 11 = D 12 = 2, resulta:

a n = 2 + 2 (n - 1) + (n - 1)(n - 2) = n 2 - n + 2.