G.M. Historias
  Teoremas Japoneses  
Julio A. Miranda Ubaldo (Perú)
De la gran variedad de problemas sangaku hay tres problemas (expresados en forma de teoremas) que tienen los nombres de dos matemáticos japoneses: Y.Mikami y T.Kobayashi.
Veamos:
Primer Teorema Japonés (Primer Teorema de Mikami y Kobayashi)
Este teorema también es conocido con el nombre de "Antiguo Teorema Japonés" y dice así:
Sea un polígono convexo de n lados inscrito en una circulo de radio R. Hagamos la triangulación del polígono trazando todas las diagonales a partir de uno de sus vértices, ahora en cada triángulo así formado inscribamos círculos, entonces demuéstrese que la suma de los inradios (el inradio de un triángulo es el radio de la circunferencia inscrita en él) de cada triángulo es independiente de la triangulación elegida.
Demostración:
Enfoquemos nuestra atención en el caso de un polígono de seis lados (n = 6), para esto efectuemos dos triangulaciones diferentes (ver figuras 1 y 2)
Siendo r 1, r 2, r 3, y r 4, los inradios2 de cada triángulo mostrado en la figura 1, demostremos primeramente que:
4R + r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 + m 6
donde m 1, ... m 6 son las distancias del centro O del círculo (de radio R) a cada uno de los lados del polígono.
Para nuestra demostración primero tracemos desde O perpendiculares de longitudes m a, m b, y m c, a las diagonales AC, FC y CE del polígono respectivamente.
Usando el teorema de Carnot:
En el triángulo ABC:
m 1 + m 2 - m a = R + r 1
En el triángulo ACF:
m 6 + m a - m b = R + r 2
En el triángulo FCE:
m b + m c + m 5 = R + r 3
En el triángulo ECD:
m 3 + m 4 - m c = R + r 4
Sumando miembro a miembro
4R + r 1 + r 2 + r 3 + r 4 =
= m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 + m 6

Análogamente efectuando el mismo procedimiento usando la figura 2 se demuestra que:
4R + r' 1 + r' 2 + r' 3 + r' 4 = m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 + m 6
Obsérvese que los segundos miembros de (2) y (3) son iguales luego se deduce
r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = r' 1 + r' 2 + r' 3 + r' 4
es decir que la suma de los inradios es independiente de la triangulación elegida.

Segundo Teorema Japonés (Segundo Teorema de Mikami y Kobayashi)
Demostrar que al unir los incentros M, N, P y Q de los triángulos ABC, BCD, CDA y ABD formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero inscrito ABCD se forma un rectángulo (véase figura).

Demostración:
Efectuemos algunos trazos auxiliares (de color rosa) como se aprecia en la figura.
En el punto Q:

  (#1)

Como M es el incentro del triángulo ABC entonces:
  (#2)
(el ángulo C referido al triángulo ABC; nótese que BM es bisectriz del ángulo B).
Análogamente como Q es el incentro del triángulo ADB:
  (#3)
(el ángulo D referido al triángulo ADB).
Pero como el cuadrilátero ABCD está inscrito en un círculo el &angulo C y el ángulo D son iguales. Los ángulos C y D referidos a los triángulos ABC y ADC respectivamente, se concluye que los ángulo AMB y AQB son iguales. Por tanto el cuadrilatero AQMB es inscriptible por lo que (#4)
Análogamente se demuestra que el cuadrilátero AQPD es también inscriptible por lo que(#5)
Remplazando (#4) y (#5) en (#1):
Sin embargo en el cuadrilátero inscriptible ABCD se cumple
Por tanto el ángulo MQP es recto. De modo igual se demuestra que:
Por tanto el cuadrilátero PQMN es un   RECTÁGULO    l.q.q.d.

Tercer Teorema Japonés (Tercer Teorema de Mikami y Kobayashi)
Considérese tres círculos tangentes entre sí y tangentes a una misma recta, donde: r 1 < r 2 < r 3
Entonces
Demostración
Unamos los centros de los tres círculos tangentes, ahora desde estos mismos centros levantemos tres perpendiculares O 2A, O 1B y O 3C a la recta tangente.
Desde el centro O 1 del círculo más pequeño trazemos perpendiculares a los radios O 2A y O 3C en D y E respectivamente.
Por construcción: DE = AC. Aplicando el Teorema de Pitagoras en los triángulos rectángulos O 2DO 1 y O 1EO 3:
Sumando (#2) y (#3) obtenemos DE que sabemos es igual AC. Por tanto:
Dividiendo cada uno de los términos de la expresión anterior por
l.q.q.d.



Puedes ver una demostración del teorema de Carnot en Notas Matemáticas


  Teoremas japoneses